《导数公式的逆向应用》导数公式的逆向应用

1单选题

f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（　　）

af(b)≤bf(a)

bf(a)≤af(b)

af(a)≤f(b)

bf(b)≤f(a)

题目答案

答案解析

分析：

先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．

解答：

解：xf′(x)+f(x)≤0⇒[xf(x)]′≤0⇒函数F(x)=xf(x)在(0，+∞)上为常数函数或递减函数，

又0＜a＜b且f(x)非负，于是有：af(a)≥bf(b)≥0①$\frac {1}{a}$＞$\frac {1}{b}$＞0②

①②两式相乘得：$\frac {f(a)}{a}$≥$\frac {f(b)}{b}$≥0⇒af(b)≤bf(a)，故选A．

点评：

本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．

2单选题

已知定义在R上的函数y=f(x)是可导函数，满足当x≠0时，f′(x)+$\frac {f(x)}{x}$＞0，则关于x的函数g(x)=f(x)-$\frac {2}{x}$的零点个数为（　　）

不确定

题目答案

答案解析

分析：

满足当x≠0时，f′(x)+$\frac {f(x)}{x}$＞0，可得：当x＞0时，xf′(x)+f(x)＞0；当x＜0时，xf′(x)+f(x)＜0．

令h(x)=xg(x)=xf(x)-2，可得h′(x)=f(x)+xf′(x)，因此当x＞0时，函数h(x)单调递增；当x＜0时，函数h(x)单调递减．即可得出函数g(x)零点的个数．

解答：

解：∵满足当x≠0时，f′(x)+$\frac {f(x)}{x}$＞0，

∴当x＞0时，xf′(x)+f(x)＞0；

当x＜0时，xf′(x)+f(x)＜0．

令h(x)=xg(x)=xf(x)-2，

则h′(x)=f(x)+xf′(x)，

∴当x＞0时，函数h(x)单调递增；当x＜0时，函数h(x)单调递减．

∴关于x的函数g(x)=f(x)-$\frac {2}{x}$的零点个数可能为：0，1，2．

故选：D．

点评：

本题通过构造函数利用函数的单调性研究函数零点的个数，属于难题．

3单选题

若函数f(x)满足f(x)+xf′(x)＞0，设a=$\frac {f(1)}{2}$，b=f(2)，则a，b与0的大小关系为（　　）

a＞0＞b

b＜0＜a

a＞b＞0

b＞a＞0

题目答案

答案解析

分析：

由已知条件构造函数g(x)=xf(x)，即可得出答案．

解答：

解：令g(x)=xf(x)，∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0，

∴g(x)在R上单调递增，∴g(0)＜g(1)＜g(2)，

即0＜f(1)＜2f(2)，

则0＜$\frac {1}{2}$f(1)＜f(2)，即b＞a＞0．

故选：D．

点评：

本题考查构造函数法比较函数值的大小，根据题目提供的信息恰当的构造出适当的函数是解决问题的关键．

4单选题

定义在R上且恒为正的函数f(x)满足$\frac {f′(x)}{f(x)}$＞-1，若f(2)=1，则f(x)＞e_的解集为( )

(2，+∞)

[2，+∞)

(2，8)

[2，8]

题目答案

答案解析

分析：

定义在R上且恒为正的函数f(x)满足$\frac {f′(x)}{f(x)}$＞-1，可得f(x)+f′(x)＞0．令g(x)=e_f(x)，利用导数的运算法则可得g′(x)=e_[f(x)+f′(x)]＞0，进而得到函数g(x)在R上的单调性．f(x)＞e_即e_f(x)＞e_．由于f(2)=1，可知上述不等式⇔g(x)＞g(2)．解出即可．

解答：

解：∵定义在R上且恒为正的函数f(x)满足$\frac {f′(x)}{f(x)}$＞-1，

∴f(x)+f′(x)＞0．

令g(x)=e_f(x)，

∴g′(x)=e_[f(x)+f′(x)]＞0，

∴函数g(x)在R上单调递增．

∴f(x)＞e_，

即e_f(x)＞e_．

∵f(2)=1，

∴上述不等式⇔g(x)＞g(2)．

∴x＞2．

∴f(x)＞e_的解集为(2，+∞)．

故答案为：(2，+∞)，选A．

点评：

本题考查了通过构造函数利用其单调性解不等式，属于难题．

5单选题

设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x＞0时，有$\frac {xf′(x)-f(x)}{x}$＜0恒成立，则不等式x_f(x)＞0的解集是（　　）

(-2，0)∪(2，+∞)

(-2，0)∪(0，2)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

(-∞，-2)∪(0，2)

题目答案

答案解析

分析：

首先根据商函数求导法则，把$\frac {xf′(x)-f(x)}{x}$＜0化为[$\frac {f(x)}{x}$]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=$\frac {f(x)}{x}$在(0，+∞)内单调递减；再由f(2)=0，易得f(x)在(0，+∞)内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f(x)在(-∞，0)内的正负性．则x_f(x)＞0⇔f(x)＞0的解集即可求得．

解答：

解：因为当x＞0时，有$\frac {xf′(x)-f(x)}{x}$＜0恒成立，即[$\frac {f(x)}{x}$]′＜0恒成立，

所以$\frac {f(x)}{x}$在(0，+∞)内单调递减．

因为f(2)=0，

所以在(0，2)内恒有f(x)＞0；在(2，+∞)内恒有f(x)＜0．

又因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以在(-∞，-2)内恒有f(x)＞0；在(-2，0)内恒有f(x)＜0．

又不等式x_f(x)＞0的解集，即不等式f(x)＞0的解集．

所以答案为(-∞，-2)∪(0，2)．

故选D．

点评：

本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．

6单选题

设f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时，下列结论中正确的是（　　）

f(x)g(x)＞f(b)g(b)

f(x)g(a)＞f(a)g(x)

f(x)g(b)＞f(b)g(x)

f(x)g(x)＞f(a)g(a)

题目答案

答案解析

分析：

构造函数F(x)=$\frac {f(x)}{g(x)}$，求导可判断函数F(x)为R上单调递减函数，结合a＜x＜b可得$\frac {f(a)}{g(a)}$＞$\frac {f(x)}{g(x)}$＞$\frac {f(b)}{g(b)}$，由题意结合选项分析，可得答案．

解答：

解：由题意构造函数F(x)=$\frac {f(x)}{g(x)}$则其导函数F′(x)=$\frac {f′(x)g(x)-f(x)g′(x)}{[g(x)]}$＜0，故函数F(x)为R上单调递减函数，∵a＜x＜b，∴F(a)＞F(x)＞F(b)，即$\frac {f(a)}{g(a)}$＞$\frac {f(x)}{g(x)}$＞$\frac {f(b)}{g(b)}$，又∵f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，对式子的后半部分两边同乘以g(b)g(x)可得f(x)g(b)＞f(b)g(x)．故选C

点评：

本题考查构造函数证明不等式，涉及商的导数，属基础题．

7单选题

已知函数y=f(x)对任意的x∈R满足2_f′(x)-2_f(x)ln2＞0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是（　　）

2f(-2)＜f(-1)

2f(1)＞f(2)

4f(-2)＞f(0)

2f(0)＞f(1)

题目答案

答案解析

分析：

根据条件构造函数g(x)=$\frac {f(x)}{2}$，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答：

解：构造函数g(x)=$\frac {f(x)}{2}$，

则g′(x)=$\frac {2_f′(x)-2_ln2f(x)}{(2_)}$，

∵x∈R满足2_f′(x)-2_f(x)ln2＞0，

∴g′(x)＞0，

即函数g(x)在R上单调递增，

则g(-2)＜g(-1)，g(1)＜g(2)，g(-2)＜g(0)，g(0)＜g(1)，

即$\frac {f(-2)}{2}$＜$\frac {f(-1)}{2}$，$\frac {f(1)}{2}$＜$\frac {f(2)}{2}$，$\frac {f(-2)}{2}$＜$\frac {f(0)}{2}$，$\frac {f(0)}{2}$＜$\frac {f(1)}{2}$，

即2f(-2)＜f(-1)，2f(1)＜f(2)，4f(-2)＜f(0)，2f(0)＜f(1)，

故A正确．

故选：A．

点评：

本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．

8单选题

已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，并满足：(1)f(x)=2a_g(x)，(a＞0，a≠1)；(2)g(x)≠0；

(3)f(x)g′(x)＜f′(x)g(x)且$\frac {f(1)}{g(1)}$+$\frac {f(-1)}{g(-1)}$=5，则a=（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {5}{4}$

2或$\frac {1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据题意设h(x)=$\frac {f(x)}{g(x)}$=2a_，再求出其导数结合f(x)g′(x)＜f′(x)g(x)判断出函数是减函数，然后根据$\frac {f(1)}{g(1)}$+$\frac {f(-1)}{g(-1)}$=5求出a的数值即可得到答案．

解答：

解：根据题意可得：g(x)≠0，所以设h(x)=$\frac {f(x)}{g(x)}$=2a_，

所以h′(x)=$\frac {f′(x)g(x)-f(x)g′(x)}{g_(x)}$，

因为f(x)g′(x)＜f′(x)g(x)，

所以h′(x)＞0，

所以函数h(x)是定义在R上的增函数．

又因为$\frac {f(1)}{g(1)}$+$\frac {f(-1)}{g(-1)}$=5，即2a_-5a+2=0，

所以a=2或a=$\frac {1}{2}$，

所以a=2．

故选B．

点评：

解决此类问题的关键是能够熟练的抽象出新的函数，并且结合求导法则求出函数的导数判断其单调性，进而结合有关知识求出参数的数值．

9单选题

已知 f(x)为R上的可导函数，且f(x)＜f'(x)和f(x)＞0对于x∈R恒成立，则有（　　）

f(2)＜e_-f(0)，f(2010)＞e_-f(0)

f(2)＞e_-f(0)，f(2010)＞e_-f(0)

f(2)＜e_-f(0)，f(2010)＜e_-f(0)

题目答案

答案解析

分析：

先构造函数y=$\frac {f(x)}{e}$，对该函数进行求导，化简变形可判定导函数的符号，再判断增减性，从而得到答案．

解答：

解：∵f(x)＜f'(x) 从而 f'(x)-f(x)＞0 从而 $\frac {e_[f′(x)-f(x)]}{e}$＞0

从而 ($\frac {f(x)}{e}$)_＞0 从而函数y=$\frac {f(x)}{e}$单调递增，故 x=2时函数的值大于x=0时函数的值，

即 $\frac {f(2)}{e}$＞f(0)所以f(2)＞e_f(0)，f(2010)＞e_f(0)．

故选B．

点评：

本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

10单选题

f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)-f(x)＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）

af(b)＜bf(a)

bf(a)＜af(b)

af(a)＜bf(b)

bf(b)＜af(a)

题目答案

答案解析

分析：

由题意可构造函数g(x)=$\frac {x}{f(x)}$，由g′(x)=$\frac {f(x)-xf′(x)}{[f(x)]}$＞0，可得到g(x)在(0，+∞)上单调递增，结合任意正数a＜b即可得答案．

解答：

解：∵f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)-f(x)＜0，

∴令g(x)=$\frac {x}{f(x)}$，

则g′(x)=$\frac {f(x)-xf′(x)}{[f(x)]}$＞0，

∴g(x)在(0，+∞)上单调递增，又0＜a＜b，

∴0＜g(a)＜g(b)，

∴0＜$\frac {a}{f(a)}$＜$\frac {b}{f(b)}$，

∴af(b)＜bf(a)．

故选A．

点评：

本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查构造函数的思想与观察分析问题的能力，属于中档题．

11单选题

定义在(0，+∞)上的可导函数f(x)满足：xf′(x)＜f(x)且f(2)=0，则f(x)＜0的解集为（　　）

(0，2)

(0，2)∪(2，+∞)

(2，+∞)

∅

题目答案

答案解析

分析：

构造函数g(x)=$\frac {f(x)}{x}$，求函数的导数，判断函数的单调性，根据$\frac {f(x)}{x}$＜0的解集与f(x)＜0的解集相同即可得到结论．

解答：

解：根据题意，由f′(x)•x＜f(x)可得f′(x)•x-f(x)＜0，

设g(x)=$\frac {f(x)}{x}$

即g′(x)=[$\frac {f(x)}{x}$]′=$\frac {xf′(x)-f(x)}{x}$＜0，则g(x)在(0，+∞)上为减函数，

又由f(2)=0，则g(2)=0，

即当0＜x＜2时，有g(x)＞0，

当x＞2时，有g(x)＜0，

即g(x)=$\frac {f(x)}{x}$＜0的解集为(2，+∞)，

当x＞0时，$\frac {f(x)}{x}$＜0的解集与f(x)＜0的解集相同，

故f(x)＜0的解集为(2，+∞)，

故选C．

点评：

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了学生的计算能力，解题时注意转化思想的运用，构造函数是解决本题的关键．

12单选题

已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数f′(x)，当x∈(-∞，0]时，恒有xf′(x)＜f(-x)，则满足$\frac {1}{3}$(2x-1)f(2x-1)＜f(3)的实数x的取值范围是（　　）

(-1，2)

(-1，$\frac {1}{2}$)

($\frac {1}{2}$，2)

(-2，1)

题目答案

答案解析

分析：

由函数f(x)是定义在R上的奇函数且xf′(x)＜f(-x)可得，[xf(x)]′＜0，所以函数F(x)=xf(x)为(-∞，0]上的减函数，因为函数F(x)为偶函数，所以函数F(x)=xf(x)为[0，+∞)上的增函数．由$\frac {1}{3}$(2x-1)f(2x-1)＜f(3)得(2x-1)f(2x-1)＜3f(3)，所以F(2x-1)＜F(3)，所以|2x-1|＜3，解得-1＜x＜2．

解答：

解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数

∴f(-x)=-f(x)

∴由xf′(x)＜f(-x)可得xf′(x)+f(x)＜0，即[xf(x)]′＜0

∵当x∈(-∞，0]时，恒有xf′(x)＜f(-x)，

∴当x∈(-∞，0]时，恒有[xf(x)]′＜0

设F(x)=xf(x)

则函数F(x)=xf(x)为(-∞，0]上的减函数．

∵F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)(-f(x))=xf(x)=F(x)

∴函数F(x)为R上的偶函数．

∴函数F(x)=xf(x)为[0，+∞)上的增函数．

∵$\frac {1}{3}$(2x-1)f(2x-1)＜f(3)

∴(2x-1)f(2x-1)＜3f(3)

∴F(2x-1)＜F(3)

∴|2x-1|＜3

解得-1＜x＜2

故选A

点评：

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式，体现了化归与转化的数学思想．

13单选题

f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数且满足xf'(x)-f(x)＜0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（　　）

af(b)＜bf(a)

af(b)＞bf(a)

af(a)＞bf(b)

af(a)＜bf(b)

题目答案

答案解析

分析：

先利用导数的除法运算，将已知不等式转化为函数y=$\frac {f(x)}{x}$的导函数小于零，从而函数y=$\frac {f(x)}{x}$为(0，+∞)上为减函数，最后利用单调性比较自变量为a、b时函数值的大小即可变形得选项结果

解答：

解：∵xf'(x)-f(x)＜0，∴($\frac {f(x)}{x}$)′=$\frac {xf′(x)-f(x)}{x}$＜0

∴函数y=$\frac {f(x)}{x}$为(0，+∞)上为减函数

∵0＜a＜b

∴$\frac {f(a)}{a}$＞$\frac {f(b)}{b}$

∴af(b)＜bf(a)

故选 A

点评：

本题主要考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小，构造一个恰当的函数是解决本题的关键

14单选题

设函数f(x)是定义在(-∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有f(x)+xf′(x)＜x，则不等式(x+2014)f(x+2014)+2f(-2)＞0的解集为（　　）

(-∞，-2012)

(-2012，0)

(-∞，-2016)

(-2016，0)

题目答案

答案解析

分析：

根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答：

解：由f(x)+xf′(x)＜x，x＜0，

即[xf(x)]′＜x＜0，

令F(x)=xf(x)，

则当x＜0时，F'(x)＜0，

即F(x)在(-∞，0)上是减函数，

F(x+2014)=(x+2014)f(x+2014)，F(-2)=(-2)f(-2)，

F(x+2014)-F(-2)＞0，

∵F(x)在(-∞，0)是减函数，

∴由F(x+2014)＞F(-2)得，

∴x+2014＜-2，

即x＜-2016．

故选：C．

点评：

本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．

15单选题

f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＜0，且f(-2)=0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为（　　）

(-2，0)∪(2，+∞)

(-2，0)∪(0，2)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

(-∞，-2)∪(0，2)

题目答案

答案解析

分析：

令h(x)=f(x)g(x)，依题意可知h(x)=f(x)g(x)为R上的奇函数，在对称区间上有相同的单调性，f(-2)=0，从而可求得f(x)g(x)＜0的解集．

解答：

解：令h(x)=f(x)g(x)，

∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

∴h(x)=f(x)g(x)为R上的奇函数．

又当x＜0时，h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＜0，

∴h(x)=f(x)g(x)在(-∞，0)上单调递减，

又h(x)=f(x)g(x)为R上的奇函数，

∴h(x)=f(x)g(x)在(0，+∞)上单调递减，

又f(-2)=0，故f(2)=0，

∴当-2＜x＜0，或x＞2时，f(x)g(x)＜0．

故f(x)g(x)＜0的解集为(-2，0)∪(2，+∞)．

故选A．

点评：

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查奇偶性与单调性的结合，考查构造函数思想与转化思想，属于中档题．

16单选题

设F(x)=f(x)g(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0，且g(2)=0，则不等式F(x)＜0的解集是（　　）

(-2，0)∪(2，+∞)

(-2，0)∪(0，2)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

(-∞，-2)∪(0，2)

题目答案

答案解析

分析：

先根据f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0可确定[f(x)g(x)]'＞0，进而可得到f(x)g(x)在x＜0时递增，结合函数F(x)的奇偶性可确定F(x)在x＞0时也是增函数，最后根据g(-2)=0可求得答案

解答：

解：因为f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＞0，

即[f(x)g(x)]'＞0

故F(x)在x＜0时递增，

又∵F(x)=f(x)g(x)是R上的奇函数，

∴F(x)的图象关于原点对称，

所以F(x)在x＞0时也是增函数．

∵f(2)g(2)=0，

∴f(-2)g(-2)=0．

即F(-2)=0且F(2)=0

所以F(x)＞0的解集为：x＜-2或0＜x＜2．

故选D．

点评：

本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，根据导数的正负可以确定函数的单调性，利用数形结合的思想进行解题．属于中档题．

17单选题

已知f(x)为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f(x)＞f′(x)，则有（　　）

e_f(-2014)＜f(0)，f(2014)＜e_f(0)

e_f(-2014)＜f(0)，f(2014)＞e_f(0)

e_f(-2014)＞f(0)，f(2014)＜e_f(0)

e_f(-2014)＞f(0)，f(2014)＞e_f(0)

题目答案

答案解析

分析：

根据题目给出的条件：“f(x)为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f(x)＞f′(x)”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g(x)=$\frac {f(x)}{e}$，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g(x)的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g(x)为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．

解答：

解：令g(x)=$\frac {f(x)}{e}$，则g′(x)=$\frac {f′(x)e_-f(x)e}{e}$，

∵f(x)＞f′(x)，∴g′(x)＜0，即函数g(x)为R上的减函数，

∴g(-2014)＞g(0)＞g(2014)，

即$\frac {f(-2014)}{e}$＞$\frac {f(0)}{e}$，∴e_f(-2014)＞f(0)，

$\frac {f(0)}{e}$＞$\frac {f(2014)}{e}$，∴f(2014)＜e_f(0)．

故选：C．

点评：

本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．

18单选题

定义域为R的函数f(x)，满足f(0)=1，f′(x)＜f(x)+1，则不等式f(x)+1＜2e_的解集为（　　）

{x∈R|x＞1}

{x∈R|0＜x＜1}

{x∈R|x＜0}

{x∈R|x＞0}

题目答案

答案解析

分析：

根据条件构造函数g(x)=$\frac {f(x)+1}{e}$，然后利用导数判断函数的单调性即可得到结论．

解答：

解：构造函数g(x)=$\frac {f(x)+1}{e}$⇒g′(x)=$\frac {f′(x)-f(x)-1}{e}$

∵f'(x)＜f(x)+1，

∴g'(x)＜0，

故g(x)在R上为减函数，而g(0)=2

不等式f(x)+1＜2e_化为g(x)＜g(0)，

解得x＞0，

故选D．

点评：

本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．

19单选题

已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足$\frac {f(x)}{g(x)}$=a_，且f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，$\frac {f(1)}{g(1)}$+$\frac {f(-1)}{g(-1)}$=$\frac {5}{2}$，若有穷数列$\frac {f(n)}{g(n)}$(n∈N_)的前n项和等于$\frac {31}{32}$，则n等于（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用导数研究函数的单调性得到a的范围，再利用等比数列前n项和公式即可得出．

解答：

解：∵[$\frac {f(x)}{g(x)}$]_=$\frac {f_(x)g(x)-f(x)g_(x)}{g_(x)}$，f_(x)g(x)＜f(x)g_(x)，

∴[$\frac {f(x)}{g(x)}$]_=$\frac {f_(x)g(x)-f(x)g_(x)}{g_(x)}$＜0，即函数$\frac {f(x)}{g(x)}$=a_单调递减，∴0＜a＜1．

又$\frac {f(1)}{g(1)}$+$\frac {f(-1)}{g(-1)}$=$\frac {5}{2}$，即a+a_=$\frac {5}{2}$，即a+$\frac {1}{a}$=$\frac {5}{2}$，解得a=2(舍去)或a=$\frac {1}{2}$．

∴$\frac {f(x)}{g(x)}$=($\frac {1}{2}$)_，即数列$\frac {f(n)}{g(n)}$=($\frac {1}{2}$)_是首项为a$_1$=$\frac {1}{2}$，公比q=$\frac {1}{2}$的等比数列，

∴S_n=$\frac {a$_1$(1-q_)}{1-q}$=$\frac {$\frac {1}{2}$[1-($\frac {1}{2}$)_]}{1-$\frac {1}{2}$}$=1-($\frac {1}{2}$)_，

由1-($\frac {1}{2}$)_=$\frac {31}{32}$解得n=5，

故选B．

点评：

熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n项和公式是解题的关键．

20单选题

已知y=f(x)为R上的连续可导的函数，当x≠0时，f_(x)+$\frac {f(x)}{x}$＞0，则关于x的方程f(x)+$\frac {1}{x}$=0的根的个数为（　　）

0或2

题目答案

答案解析

分析：

欲求关于x的方程f(x)+$\frac {1}{x}$=0的根的个数可转化成xf(x)+1=0的根的个数，令F(x)=xf(x)+1，根据条件讨论x的正负，得到函数的单调性，从而得到结论．

解答：

解：∵当x≠0时，f_(x)+$\frac {f(x)}{x}$＞0，

∴$\frac {xf′(x)+f(x)}{x}$＞0

要求关于x的方程f(x)+$\frac {1}{x}$=0的根的个数可转化成xf(x)+1=0的根的个数

令F(x)=xf(x)+1

当x＞0时，xf′(x)+f(x)＞0即F′(x)＞0，∴F(x)在(0，+∞)上单调递增

当x＜0时，xf′(x)+f(x)＜0即F′(x)＜0，∴F(x)在(-∞，0)上单调递减

而y=f(x)为R上的连续可导的函数

∴xf(x)+1=0无实数根

故选A．

点评：

本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及导数运算和分类讨论的思想，属于中档题．

21单选题

已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则当a＞0时，f(a)和e_f(0)大小关系为（　　）

f(a)＜e_f(0)

f(a)＞e_f(0)

f(a)=e_f(0)

f(a)≤e_f(0)

题目答案

答案解析

分析：

设函数f(x)=e_，则导函数f′(x)=2•e_，显然满足f'(x)＞f(x)，由f(a)=e_，e_f(0)=e_，比较得出结论．

解答：

解：由题意知，可设函数f(x)=e_，

则导函数f′(x)=2•e_，显然满足f'(x)＞f(x)，

f(a)=e_，e_f(0)=e_，当a＞0时，显然 e_＞e_，即f(a)＞e_f(0)，

故选 B．

点评：

本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法．

22单选题

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0，当x＞0时，有xf′(x)-f(x)＜0成立，则不等式x_•f(x)＞0的解集是（　　）

(-2，0)∪(2，+∞)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

(-2，0)∪(0，2)

(-∞，-2)∪(0，2)

题目答案

答案解析

分析：

令g(x)=$\frac {f(x)}{x}$，依题意，可求得0＜x＜2或x＜-2时f(x)＞0，从而可求得不等式x_•f(x)＞0的解集．

解答：

解：g(x)=$\frac {f(x)}{x}$，

则g′(x)=$\frac {xf′(x)-f(x)}{x}$，

∵当x＞0时，有xf′(x)-f(x)＜0成立，

∴当x＞0时，g′(x)＜0，

∴g(x)=$\frac {f(x)}{x}$在(0，+∞)上单调递减，

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)=0，

∴g(-x)=$\frac {f(-x)}{-x}$=$\frac {-f(x)}{-x}$=g(x)，

∴g(x)为偶函数，且g(2)=0，

∴当0＜x＜2时，g(x)＞0，于是此时f(x)＞0；

同理可得，当x＜-2时，g(x)＜0，于是此时f(x)＞0；

∴f(x)＞0的解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}

∴不等式x_•f(x)＞0的解集就是f(x)＞0的解集，为{x|x＜-2或0＜x＜2}．

故选D．

点评：

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性与单调性，考查分析与作图能力，属于中档题．

23单选题

已知f(x)为定义在(-∞，+∞)上的可导函数，且f(x)＞f′(x)对于x∈R恒成立(e为自然对数的底)，则（　　）

e_•f(2014)＞e_•f(2013)

e_•f(2014)=e_•f(2013)

e_•f(2014)＜e_•f(2013)

e_•f(2014)与e_•f(2013)大小不确定

题目答案

答案解析

分析：

根据选项的特点，令g(x)=$\frac {f(x)}{e}$，对其进行求导，根据已知条件f(x)＞f′(x)，可以判断g(x)的单调性，从而可判定选项的正确与否．

解答：

解：f(x)为定义在(-∞，+∞)上的可导函数，且f(x)＞f′(x)，

令g(x)=$\frac {f(x)}{e}$，g′(x)=$\frac {f′(x)e_-f(x)e}{e}$=$\frac {(f′(x)-f(x))e}{e}$，

∵f(x)＞f'(x)，

∴g′(x)＜0，g(x)是R上的减函数，

∴g(2014)＜g(2013)，

∴$\frac {f(2014)}{e}$＜$\frac {f(2013)}{e}$，

∴e_•f(2014)＜e_•f(2013)，

故选C．

点评：

此题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数g(x)=$\frac {f(x)}{e}$，同时考查了分析问题的能力，是一道好题．

24单选题

已知函数f(x)满足-f(x)=f(-x)且当x∈(-∞，0)时，f(x)+xf′(x)＜0成立，若a=(2_)•f(2_)，b=(ln2)•f(ln2)，c=(log$_2$$\frac {1}{8}$)•f(log$_2$$\frac {1}{8}$)，则a，b，c的大小关系是（　　）

a＞b＞c

c＞b＞a

c＞a＞b

a＞c＞b

题目答案

答案解析

分析：

令g(x)=xf(x)，得g(x)是偶函数；由x∈(-∞，0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)＜0，得函数g(x)在x∈(-∞，0)上单调递减，从而得g(x)在(0，+∞)上单调递增；再由∴函数g(x)在x∈(0，+∞)上单调递增．再由-$_2$=3＞2_＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．

解答：

解：∵-f(x)=f(-x)，∴f(x)是奇函数，

∴xf(x)是偶函数．

设g(x)=xf(x)，当x∈(-∞，0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)＜0，

∴函数g(x)在x∈(-∞，0)上单调递减，

∴函数g(x)在x∈(0，+∞)上单调递增．

∵-$_2$=3＞2_＞1＞ln2＞0，

∴g($_2$)＞g(2_)＞g(ln2)，

故选：C．

点评：

本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g(x)并求导，属于易出错的题目．

25单选题

定义在R上且恒为正的函数f(x)满足f'(x)+f(x)＜0，若f(2)=1，则f(x)＞e_的解集为( )

(-∞，2)

(2，+∞)

(2，8)

[2，8]

题目答案

答案解析

分析：

根据f'(x)+f(x)＜0，构造新函数，判断函数的单调性．

解答：

解：令g(x)=e_f(x)，

∴g'(x)=e_[f(x)+f'(x)]＜0；

∴函数g(x)在R上单调递减；

∴f(x)＞e_即e_f(x)＞e_

因为f(2)=1，∴上述不等式可以转换为：g(x)＞g(2).

∴x＜2.即解集是(-∞，2)．

点评：

本题考查导数公式的逆向应用，属于中档题．

读趣百科

《导数公式的逆向应用》导数公式的逆向应用

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2单选题

题目答案

您的答案

答案解析

3单选题

题目答案

您的答案

答案解析

4单选题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8单选题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11单选题

题目答案

您的答案

答案解析

12单选题

题目答案

您的答案

答案解析

13单选题

题目答案

您的答案

答案解析

14单选题

题目答案

您的答案

答案解析

15单选题

题目答案

您的答案

答案解析

16单选题

题目答案

您的答案

答案解析

17单选题

题目答案

您的答案

答案解析

18单选题

题目答案

您的答案

答案解析

19单选题

题目答案

您的答案

答案解析

20单选题

题目答案