《构造函数求最值的实际问题》构造函数求最值的实际问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《构造函数求最值的实际问题》构造函数求最值的实际问题

1单选题

如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值是(      )

A
2
B
3
C
$\frac {3+2$\sqrt {2}$}{4}$
D
$\frac {4$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

C

答案解析

分析：

设∠MOQ=θ，由θ∈[0，$\frac {π}{2}$]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面积公式S_△PMN=$\frac {1}{2}$MN•AQ=$\frac {1}{2}$(1+sinθ)(1+cosθ)展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解

解答：

解：设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，$\frac {π}{2}$]，MQ=sinθ，OQ=cosθ

∴S_△PMN=$\frac {1}{2}$MN•AQ=$\frac {1}{2}$(1+sinθ)(1+cosθ)

=$\frac {1}{2}$(1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)．

令sinθ+cosθ=t∈[1，$\sqrt {2}$]，

∴S_△PMN=$\frac {1}{2}$(t+1+$\frac {t_-1}{2}$)

θ=$\frac {π}{4}$，当t=$\sqrt {2}$，

∴S_△PMN的最大值为$\frac {3+2$\sqrt {2}$}{4}$．

点评：

本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键

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2单选题

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为$\frac {π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，则角α与矩形ABCD的面积最大值之间的关系是(       )

A
当α=$\frac {π}{6}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$
B
当α=$\frac {π}{4}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$
C
当α=$\frac {π}{2}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$
D
当α=$\frac {3π}{2}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

A

答案解析

分析：

如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．

解答：

解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，

在Rt△OAD中，$\frac {DA}{OA}$=tan60°=$\sqrt {3}$，所以OA=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$DA=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$BC=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sinα．

所以AB=OB-OA=cosα-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sinα．

设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=(cosα-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sinα)sinα=sinαcosα-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sin_α

=$\frac {1}{2}$sin2α+$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$cos2α-$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$=$\frac {1}{$\sqrt {3}$}$($\frac {$\sqrt {3}$}{2}$sin2α+$\frac {1}{2}$cos2α)-$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$

=$\frac {1}{$\sqrt {3}$}$sin(2α+$\frac {π}{6}$)-$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$．

由于0＜α＜$\frac {π}{3}$，所以当2α+$\frac {π}{6}$=$\frac {π}{2}$，即α=$\frac {π}{6}$时，S_最大=$\frac {1}{$\sqrt {3}$}$-$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$．

因此，当α=$\frac {π}{6}$时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$，所以选A．

点评：

本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．

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3单选题

如图，现要在一块半径为1m，圆心角为$\frac {π}{3}$的扇形纸报AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设∠BOP=θ，平行四边形MNPQ的面积为S．；S的最大值及相应的θ角为(      )

A
当θ=$\frac {π}{6}$时，最大面积为$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$
B
当θ=$\frac {π}{4}$时，最大面积为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$
C
当θ=$\frac {π}{2}$时，最大面积为$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$
D
当θ=$\frac {3π}{2}$时，最大面积为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

A

答案解析

分析：

(1)分别过P、Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则QEDP为矩形，求出边长即可求S关于θ的函数关系式；

(2)利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S的最大值及相应的θ角．

解答：

解(1)分别过P、Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则QEDP为矩形(2分)

由扇形半径为1cm，PD=sinθOD=cosθ

在Rt△OEQ中OE=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$QE=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$PD

MN=OD-OE=cosθ-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sinθ(4分)

S=MN•PD=(cos-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sinθ)•sinθ=sinθcosθ-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sin_θθ∈(0，$\frac {π}{3}$)(6分)

(2)S=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$sin(2θ+$\frac {2}{6}$)-$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$(9分)

2θ+$\frac {π}{6}$∈($\frac {2}{6}$，$\frac {5π}{6}$)，sin(2θ+$\frac {π}{6}$)∈($\frac {1}{2}$，1]

当θ=$\frac {π}{6}$时，S_max=$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$(m_)(12分)，所以选A．

点评：

本题是中档题，考查三角函数在解决实际问题中的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，转化思想的应用．

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4填空题

如图，在半径为2，中心角为$\frac {π}{2}$的扇形的内接矩形OABC(只有B在弧上)的面积的最大值=．

填空题答案仅供参考

题目答案

2

答案解析

分析：

设∠AOB=α，α∈[0，$\frac {π}{2}$]，可表示AB和OA，可得面积S，由三角函数的最值可得．

解答：

解：设∠AOB=α，α∈[0，$\frac {π}{2}$]，

∴AB=OBsinα=2sinα，

OA=OBcosα=2cosα，

∴内接矩形OABC的面积S=AB×OA

=2sinα×2cosα=2sin2α，

∵α∈[0，$\frac {π}{2}$]，∴2α∈[0，π]，

当2α=$\frac {π}{2}$，即α=$\frac {π}{4}$时，S取最大值2

故答案为：2

点评：

本题考查三角函数的最值，涉及弧度制的应用，属基础题．

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5单选题

在如图所示的直角坐标系中，B为单位圆在第一象限内圆弧上的动点，A(1，0)，设∠AOB=x(0＜x＜$\frac {π}{2}$)，过B作直线BC∥OA，并交直线y=-$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$x于点C．x的取值为与△ABC的面积最大值之间的关系是(       )

A
x=$\frac {5π}{12}$时，S_△ABC取得最大值为$\frac {1}{2}$+$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$
B
x=$\frac {π}{6}$时，S_△ABC取得最大值为$\frac {3}{2}$+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$
C
x=$\frac {π}{3}$时，S_△ABC取得最大值为$\frac {1}{4}$+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$
D
x=$\frac {4π}{3}$时，S_△ABC取得最大值为$\frac {1}{2}$+$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

A

答案解析

分析：

表示出△ABC的面积，利用辅助角公式化简，结合角的范围，即可得到结论．

解答：

解：∵BC∥OA，

∴A到BC的距离为sinx

∵|BC|=cosx+$\sqrt {3}$sinx

∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$|BC|sinx=$\frac {1}{2}$(cosx+$\sqrt {3}$sinx)sinx=$\frac {1}{2}$sin(2x-$\frac {π}{3}$)+$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$

∵0＜x＜$\frac {π}{2}$

∴-$\frac {π}{3}$＜2x-$\frac {π}{3}$＜$\frac {2π}{3}$

∴当2x-$\frac {π}{3}$=$\frac {π}{2}$，即x=$\frac {5π}{12}$时，S_△ABC取得最大值为$\frac {1}{2}$+$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$，所以选A．

点评：

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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