《抛物线定义的应用》抛物线定义的应用 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《抛物线定义的应用》抛物线定义的应用

1单选题

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y_0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）

A
2$\sqrt {2}$
B
2$\sqrt {3}$
C
4
D
2$\sqrt {5}$

题目答案

B

答案解析

分析：

关键点M(2，y_0)到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．

解答：

解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y_=2px(p＞0)

∵点M(2，y_0)到该抛物线焦点的距离为3，

∴2+$\frac {p}{2}$=3

∴p=2

∴抛物线方程为y_=4x

∵M(2，y_0)

∴y_0_=8

∴|OM|=$\sqrt {4+8}$=2$\sqrt {3}$

故选B．

点评：

本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．

纠错重做

2单选题

已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y_=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）

A
$\frac {1}{3}$
B
$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$
C
$\frac {2}{3}$
D
$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$

题目答案

D

答案解析

分析：

根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知|OB|=$\frac {1}{2}$|AF|，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．

解答：

解：设抛物线C：y_=8x的准线为l：x=-2

直线y=k(x+2)(k＞0)恒过定点P(-2，0)

如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，

由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，

点B为AP的中点、连接OB，

则|OB|=$\frac {1}{2}$|AF|，

∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，

故点B的坐标为(1，2$\sqrt {2}$)∴k=$\frac {2$\sqrt {2}$-0}{1-(-2)}$=$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$，

故选D

点评：

本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．

纠错重做

3填空题

过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作一直线l与抛物线交于P、Q两点，作PP$_1$、QQ$_1$垂直于抛物线的准线，垂足分别是P$_1$、Q$_1$，已知线段PF，QF的长度分别是4，9，那么|P$_1$Q$_1$|=．

填空题答案仅供参考

题目答案

12

答案解析

分析：

如图所示，过点P作PM⊥QQ$_1$，垂足为M．可得四边形PMQ$_1$P$_1$为矩形，PM=P$_1$Q$_1$．利用抛物线的定义可得|PF|=|PP$_1$|=4，|FQ|=|QQ$_1$|=9，得到|QM|=9-4．在Rt△PQM中，利用勾股定理|PM|=$\sqrt {PQ^{2}-QM^{2}}$即可得出．

解答：

解：如图所示，过点P作PM⊥QQ$_1$，垂足为M．则四边形PMQ$_1$P$_1$为矩形，∴PM=P$_1$Q$_1$．∵|PF|=|PP$_1$|=4，|FQ|=|QQ$_1$|=9，∴|QM|=9-4=5．在Rt△PQM中，|PM|=$\sqrt {PQ^{2}-QM^{2}}$=$\sqrt {13^{2}-5^{2}}$=12．∴|P$_1$Q$_1$|=12．故答案为：12．

点评：

本题考查了抛物线的定义、矩形的性质、勾股定理，属于中档题．

纠错重做

4单选题

倾斜角为60°的直线l经过抛物线y_=2px(p＞0)的焦点，且与抛物线相交于A，B两点(点A在x轴上方)，则$\frac {|AF|}{|BF|}$的值为（　　）

A
1
B
2
C
3
D
4

题目答案

C

答案解析

分析：

设抛物线y_=2px(p＞0)的准线为l．如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．由抛物线的定义可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=$\frac {1}{2}$|AB|．化简即可得出．

解答：

解：设抛物线y_=2px(p＞0)的准线为l：x=-$\frac {p}{2}$．

如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．

过点B作BC⊥AM交于点C．

则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．

∵AM∥x轴，

∴∠BAC=∠AFx=60°．

在Rt△ABC中，|AC|=$\frac {1}{2}$|AB|．

又|AM|-|BN|=|AC|，

∴|AF|-|BF|=$\frac {1}{2}$(|AF|+|BF|)，

化为$\frac {|AF|}{|BF|}$=3．

故选：C．

点评：

本题考查了抛物线的定义、含60°角的直角三角形的性质、平行线的性质，考查了辅助线的作法，属于中档题．

纠错重做

5填空题

设抛物线x2=12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=．

填空题答案仅供参考

题目答案

8

答案解析

分析：

过点A，B，P分别作抛物线准线y=-3的垂线，垂足为C，D，Q，据抛物线定义，得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|，答案可得．

解答：

解：过点A，B，P分别作抛物线准线y=-3的垂线，垂足为C，D，Q，据抛物线定义，得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|=8．故答案为8

点评：

本题主要考查了抛物线的定义．属基础题．

纠错重做

6填空题

直线L经过抛物线y_=2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，如果|PF|=2，|QF|=8，M为RS的中点，则|MF|的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

4

答案解析

分析：

根据题意作出辅助线：取PQ中点N，连接MN、MP、MQ，结合抛物线的定义在梯形PQSR中证明MN=$\frac {1}{2}$|PQ|，从而得出三角形PQM是直角三角形，再通过边角边证明出

△MPR≌△MPF，从而MF是Rt△PMQ斜边上的高，最后可以用射影定理得出MF|_=8×2=16，从而得出线段MF的长度．

解答：

解：如图，取PQ中点N，连接MN、MP、MQ，根据抛物线的定义可得

|PF|=|PR|，|QF|=|QS|，

∴MN=$\frac {1}{2}$(|PR|+|SQ|)=$\frac {1}{2}$|PQ|

∴△PQM是以PQ为斜边的直角三角形

∵MN∥PR

∴∠RPM=∠NMP

∵|MN|=|NP|，∠NMP=∠FPM

∴△MPR≌△MPF(边角边)

∴∠MRP=∠PFM=90°即MF⊥PQ

在Rt△PMQ中，MF是斜边上的高，根据射影定理得：

|MF|_=|PF|•|QF|⇒|MF|_=8×2=16

∴|MF|=4(舍负)

故答案为：4

点评：

本题以抛物线为例，考查了圆角曲线的定义与性质，以及直线与圆锥曲线的关系，属于中档题．合理地利用平面几何的性质进行推理，利用题中的几何关系加以解决，是本题解决的关键．

纠错重做

7填空题

从抛物线y_=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

10

答案解析

分析：

先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．

解答：

解：设P(x_0，y_0)

依题意可知抛物线准线x=-1，

∴x_0=5-1=4

∴|y_0|=$\sqrt {4×4}$=4，

∴△MPF的面积为$\frac {1}{2}$×5×4=10

故答案为10．

点评：

本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．

纠错重做