二次函数图像性质

幂函数

知识点1 幂函数的定义

1.幂函数的定义：一般地，形如$y=a^{x}$的函数称为幂函数，其中$x$是自变量，$a$是常量．

2.常见的幂函数：初中学过的$y=x^{2}$，$y=x$，$\frac{1}{x}$,都是幂函数.

知识点2 幂函数的图像性质

注：下图为所有幂函数在一象限的图像，并不代表该函数的所有图像.

（1）所有幂函数在$（0，+∞）$上都有定义，并且图象都通过点$（1,1）$.

（2）在第一象限内，$a>0$,在$（0，+∞）$上为增函数; $a<0$,在$(0,+∞)$上为减函数.

（3）在第一象限内，$a>1$时，图像靠近y轴；$0<a<1$时，图像靠近$x$轴.

（4）在第一象限内，$a<0$时，向上与$y$轴无限逼近，向右与$x$轴无限逼近.

幂函数的画法

1.画法步骤：

（1）确定指数$a$的范围是三种类型中的哪一种.

（2）确定函数定义域（遇到分数指数幂可转化根式形式）.

（3）确定函数奇偶性（遇到分数指数幂可转化根式形式）.

（4）根据一象限的图像，再依据定义域和奇偶性画出完成的幂函数图像.

2.举例：画出$y=x^{\frac{5}{3}}$ 的图像.

（1）已知$a>1$，查图像表可得函数在一象限的图像.

（2）转化成$y=\sqrt[3]{x^{5}}$形式，可知函数定义域为R且为奇函数，所以函数在三象限还存在一部分图像.

（3）根据奇函数的图像性质可画出剩余部分的图像.