1.等差的定义
如果数列{$a_{n}$}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即$a_{n}$-$a_{n-1}$=$d（n∈N^{*}，且n≥2）$.或$a_{n+1}-a_{n}=d（n∈N^{*}）$.
若公差$d>0$，则为递增等差数列；若公差$d<0$，则为递减等差数列；若公差$d=0$，则为常数列.
2.等差中项：若$a,A,b$成等差数列，则$A$叫做$a与b$的等差中项，且$A=\frac{a+b}{2}$.
3.等差的通项公式：$a_{n}=a_{1}+(n-1)d,n∈N^{*}$.
4.等差的前$n$和：$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2},S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$ .
公式变形为 $: S_{\mathrm{n}}=\mathrm{An}^{2}+\mathrm{Bn}$其中 $\mathrm{A}=\frac{d}{2},\mathrm{B}=a_{1}-\frac{d}{2} .$ 注意 : 已知 $\mathrm{n},\mathrm{d},\mathrm{a}_{1},\mathrm{a}_{n},\mathrm{s}_{\mathrm{n}}$ 中的三者可以求另两者,即“知三求二”.
知识点1 通项公式推论
1.$a_{n}=a_{m}+(n-m)d,(m,n∈N^{*}).$
2.当$m+n=p+q$,有$a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}$，特别地，当$m+n=2p$时，则有$a_{m}+a_{n}=2a_{p}$.（注：不能出来类似$a_{2}+a_{3}=a_{5}$这类计算，等号两边的项数要保持相等）
知识点2 前n项和推论
1.$S_{n},S_{2n}-S_{n}，S_{3n}-S_{2n} \cdots\cdots$仍为等差数列，公差为$n^{2}d.$
2.求$S_{n}$的最值
（1）求二次函数$S_{n}= An^{2}+Bn$的最值即求求顶点坐标.（注意取最值时n是否为正整数）
（2）求出 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ 中的正、负分界项,即当$a_{1}＞0，d＜0$，解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}a_{n} \geq 0 \\ a_{n+1} \leq 0\end{array}\right.$可求得$S_{n}$最大值时的$n$值.
（3）当$a_{1}＜0，d＞0$，解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}a_{n} \leq 0 \\ a_{n+1} \geq 0\end{array}\right.$可求得$S_{n}$最小值时的$n$值.
3.奇偶项性质
（1）若项数为 $2n\left(n\in\mathrm{N}^{*}\right),\quad$ 则 $S_{2 n}=n\left(a_{n}+a_{n+1}\right),$ 且
$S_{\text {偶}}-S_{\text {奇}}=n d,\quad \frac{S_{\text {奇 }}}{S_{\text {偶}}}=\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$.
（2）若项数为 $2 n-1\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right),\quad$ 则 $S_{2 n-1}=(2 n-1) a_{n},$ 且$S_{\text {奇}}-S_{\text {偶}}=a_{n},\frac{S_{\text {奇}}}{S_{\text {偶}}}=\frac{n}{n-1}\left(\right.$ 其中 $\left.S_{\text {奇}}=n a_{n},\quad S_{\text {偶}}=(n-1) a_{n}\right)$
4.$S_{n}$是等差数列{$a_{n}$}的前$n$项和，则{$\frac{S_n}{n}$}也是等差数列，公差为$\frac{d}{2}$.
5.若$S_{n}$、$T_{n}$是等差数列{$a_{n}$}、{$b_{n}$}的前$n$项和,则$\frac{a_n}{b_n}$= $\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$.
1.定义法：$a_{n+1}-a_{n}=d $⇌{$a_{n}$}为等差数列.
2.中项法：$2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$⇌{$a_{n}$}为等差数列.
3.通项公式法：$a_{n}=a n+b \quad(a,b$ 为常数 $)$⇌{$a_{n}$}为等差数列.（注：只能在选择填空使用）
4.前n项和公式法：$S_{n}=An^{2}+Bn$⇌{$a_{n}$}为等差数列.（注：只能在选择填空使用）