椭圆的几何性质

1.$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1（$a>b>0$）

长轴$A_{1}A_{2}$的长为$2a$ 

短轴$B_{1}B_{2}$的长为$2b$ 

焦距|$F_{1}F_{2}$|＝$2c$

离心率$e＝\frac{c}{a}$

2.$\frac{y^{2}}{a^{2}}＋\frac{x^{2}}{b^{2}}=1（a>b>0）$

长轴$A_{1}A_{2}$的长为$2a$ 

短轴$B_{1}B_{2}$的长为$2b$ 

焦距|$F_{1}F_{2}$|＝$2c$

离心率$e＝\frac{c}{a}$

椭圆的第二定义

1.定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数$e$ = $\frac{c}{a}$的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数$e$是椭圆的离心率.

2.准线：（1）$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>b>0$）对应于右焦点$F_{2}$（$c，0$）的准线称为右准线，方程是：$x$=$\frac{a^{2}}{c}$；对应于左焦点$F_{2}$（$-c$，0）的准线称为左准线，方程是：$x$= -$\frac{a^{2}}{c}$.

（2）$\frac{y^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{x^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>b>0$）对应的两条准线为：$y$= $±\frac{a^{2}}{c}$.

3.离心率$e$的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比.

椭圆的焦半径

1.定义：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径.

2.对于椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1（$a>b>0$），$F_{1}$为左焦点，$F_{2}$为右焦点.设

$P$($x_{0}，y_{0}$)为椭圆上的一点，则:

|$PF_{1}$| =$a + ex_{0}$；

|$PF_{2}$| =$a - ex_{0}$($e$为椭圆离心率).

3.对于椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{x^{2}}{b^{2}}$＝1（$a>b>0$），$F_{1}$为下焦点，$F_{2}$为上焦点,设$P$($x_{0}，y_{0}$)为椭圆上的一点，则:

|$PF_{1}$| =$a + ey_{0}$；

|$PF_{2}$| =$a - ey_{0}$($e$为椭圆离心率).

椭圆的焦点三角形

椭圆上任意一点与两焦点组成的三角形为焦点三角形，设$α$为焦点三角形的顶角，$S$为焦点三角形面积，$C$为周长.

1.焦点三角形周长: $C$ = $2a + 2c$.

2.焦点三角形面积:$S$ = $b^{2}tan\frac{α}{2}$.

3.焦点三角形面积范围：（$0，cb$].

4.焦点三角形内切圆半径$r$ = $\frac{S}{a+c}$.

5.焦点三角形外接圆半径$r$ = $\frac{sinα}{c}$.