定积分的概念

知识点1 定积分的概念

设区间间 $[a,b]$ 等分成$n$个小区间，在每个小区间 $\left[\mathrm{x}_{i-1},\mathrm{x}_{i}\right]$ 上取任一点 $\xi_{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots$…n）作和式: $$I_{n}=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right)△x$$（其中△x为小区间长度），把$n→∞即△x→0$时，和式$I_{n}$的极限叫做函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间[a,b]上的定积分，记作: $\int_{a}^{b} f(x) d x,$ 即:

$$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}{n}f\left(\xi_{i}\right)$$

这里，$a与b$分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函

数$f(x)$叫做被积函数,$x$叫做积分变量，$f(x)dx$ 叫做被积式.

知识点2 定积分的性质

$1.\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$($k$为常数 $)$

$2.\int_{a}^{b}f(x)\pm g(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

$3.\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x)dx.$ 其中（$a<c<b$）.

知识点3 定积分求曲边梯形面积

1.由三条直线$x＝a，x＝b（a<b ）$，$x$轴及一条曲线$y＝f（x）（f（x）≥0）$围成的曲边梯的面积 $S=\int_{a}^{b} f(x)dx$.

$2.如果图形由曲线 \mathrm{y}_{1}=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}),\mathrm{y}_{2}=\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x})\left(\right.$ 不妨设 $\left.\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}) \geqslant \mathrm{f}_{2}(\mathrm{x}) \geqslant 0\right)$ 围成，那么所求图形的面积$S＝S_{曲边梯形AMNB}－S_{曲边梯形DMNC}$＝ $\int_{a}^{b} f_{1}(x) d x-\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx$.

微积分基本定理

一般地，如果 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的连续函数，且 $F^{\prime}(x)=f(x),$ 那 么 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a),$ 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱$布尼茨公式.为了方便，常把 F(b)-F(a)$记作:$\left.F(x)\right|_{a} ^{b}$

$即 \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)$.