知识点1 直线与圆锥曲线位置关系判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量得到关于$x$(或$y$)的一元方程:$ax^{2}+bx+c=0$(或$ay^{2}+by+c=0$).
(1)若$a≠0$,可考虑一元二次方程的判别式$Δ$,有
①$Δ>0$⇔直线与圆锥曲线相交;
②$Δ=0$⇔直线与圆锥曲线相切;
③$Δ<0$⇔直线与圆锥曲线相离.
(2)若$a=0,b≠0$,即得到一个一元一次方程,则直线$l$与圆锥曲线$E$相交,且只有一个交点,
①若$E$为双曲线,则直线$l$与双曲线的渐近线的位置关系是平行;
②若$E$为抛物线,则直线$l$与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
知识点2 直线与圆锥曲线联立与韦达定理的应用
第一步:设直线方程,通常已知斜率,设斜截式,已知点,设点斜式,但是要注意斜率不存在的情况.
第二步:带入圆锥曲线方程,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.
第三步:判断跟的判别式大于0.
第四步:设交点坐标,得到方程的根.
第五步:利用韦达定理得到两根之和,两根之积.
第六步:利用分析法,由结论逆推,用两根的和与积表示,解决问题.