抛物线的焦点弦问题

知识点1抛物线的焦半径问题

（1）抛物线$y^{2}＝2px$（$y^{2}＝-2px$）上一点$P$($x_{0}，y_{0}$)到焦点$F$（$\frac{p}{2}$，0)的距离焦半径$|PF|$＝$|x_{0}|＋\frac{p}{2}$ .

（2）抛物线$x^{2}＝2py$（$x^{2}＝-2py$）上一点$P$($x_{0}，y_{0}$)到焦点$F$（0，$\frac{p}{2}$)的距离焦半径$|PF|$＝$|y_{0}|＋\frac{p}{2}$ .

知识点2 抛物线的焦点弦问题

设$AB$是过抛物线焦点$F$的弦，若$A$($x_{1}，y_{1}$)，$B$($x_{2}，y_{2}$)，则

（1）$x_{1}·x_{2}$ =$\frac{p^{2}}{4}$，$y_{1}·y_{2}$ =$-p^{2}$.

（2）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于$2p$，通径是过焦点最短的弦．

（3）以弦$AB$为直径的圆与准线相切．

（4）当抛物线为$y^{2}＝2px$($p>0$)时，弦长$|AB|＝x_{1}＋x_{2}＋p$＝$\frac{2p}{sin^{2}α}$($α$为弦AB所在直线的倾斜角).

（5）当抛物线为$x^{2}＝2py$($p>0$)时，弦长$|AB|＝y_{1}＋y_{2}＋p$＝$\frac{2p}{cos^{2}α}$($α$为弦AB所在直线的倾斜角).

抛物线中的最值问题

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

例:当抛物线焦点在$x$轴正半轴上时，由抛物线的定义知点$P$到直线$x＝－\frac{p}{2}$的距离等于点$P$到$F$的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点$P$，使点$P$到点$A$的距离与点$P$到$F$($\frac{p}{2}，0$)的距离之和最小，显然，连接$AF$与抛物线相交的点即为满足题意的点.

抛物线的切线方程

1.抛物线$y^{2}＝2px$上一点$P$($x_{0}，y_{0}$)处的切线方程是$y_{0}·y = p(x+x_{0})$.

2.过抛物线$y^{2}＝2px$外一点$P$($x_{0}，y_{0}$)所引两条切线的切点弦方程是$y_{0}·y = p(x+x_{0})$.

3.抛物线$y^{2}＝2px$与直线$Ax+By+C=0$相切的条件是$pB^{2}=2AC$.