向量的基本概念

知识点1 向量的相关概念

1.向量：既有大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示（类比于物理中的力）.

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：$\overrightarrow{0}$.

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与$\overrightarrow{AB}$共线的单位向量是$\pm \frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}$）.

4.向量的模：向量的大小也就是向量的长度称为向量的模.$\overrightarrow{a}$的模表示为|$\overrightarrow{a}$|;$\overrightarrow{AB}$的模表示为|$\overrightarrow{AB}$|.

知识点2 向量间的关系

1.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.

2.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$叫做平行向量，记作$\overrightarrow{a}$//$\overrightarrow{b}$.

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线（也就是可以重合），但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有$\overrightarrow{0}$)；

④三点A、B、C共线⇌$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$共线.

3.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.$\overrightarrow{a}$的相反向量记作-$\overrightarrow{a}$.

知识点3 向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，注意起点在前，终点在后.

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$等.

3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与$x$轴、$y$轴方向相同的两个单位向量$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$为基底，则平面内的任一向量$\overrightarrow{a}$可表示为$\overrightarrow{a}$=$x\overrightarrow{i}$+$y\overrightarrow{j}$=（$x,y$），称（$x,y$）为向量$\overrightarrow{a}$的坐标，$\overrightarrow{a}$=（$x,y$）叫做向量$\overrightarrow{a}$的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

向量的加法

1.三角形法则：首尾相连．

2.平行四边形法则：共起点.

向量的减法

三角形法则：起点相同，减向量的终点指向被减向量的终点.

向量的数乘

1.数量的数乘：实数$λ与向量\overrightarrow{a}$的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作$λ\overrightarrow{a}$，实质就是向量的伸长与缩短．

2.$λ$对向量的影响

（1）当$λ>0$时， $λ\overrightarrow{a}$的方向与$\overrightarrow{a}$的方向相同；当 $λ<0 $时，$λ\overrightarrow{a}$的方向与$\overrightarrow{a}$的方向相反.

（2）当$|λ|>1$时， $λ\overrightarrow{a}$的长度在伸长；当 $当0<|λ|<0 $时，$λ\overrightarrow{a}$的长度在缩短.

3.运算律

（1）$|λ \overrightarrow{a}$|=$|λ|·|\overrightarrow{a}$|；

（2）$λ（μ\overrightarrow{a}$）=$（λμ）\overrightarrow{a}$；

（3）$（λ+μ）\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{a}$；

（4）$λ（\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$λ\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$.

4.向量共线定理

（1）向量$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{a}$≠0）与$\overrightarrow{b}$共线，当且仅当有唯一一个实数$λ$使得$\overrightarrow{b} =λ\overrightarrow{a}$ .（即只需要证明两个向量有$λ（λ≠0）$倍数关系，就可以说明两个向量共线或者平行）

（2）在向量的坐标表示中：设 $\overrightarrow{a}=（x_{1},y_{1}），\overrightarrow{b}=（x_{2}，y_{2}）$.当且仅当$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$时，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线.（简记“交叉相乘相等”）

平面向量基本定理

知识点1 基底的概念

平面向量基本定理：如果$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量$\overrightarrow{a}$，有且只有一对实数$λ_{1}、λ_{2}$，使$\overrightarrow{a}$=$λ_{1}\overrightarrow{e_1}$+$λ_{2}\overrightarrow{e_2}$.不共线的向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$作为这一平面内所有向量的一组基底.（注：作为基底的两个向量一定不能共线）

知识点2 向量的夹角

1.夹角的定义：不共线的两个向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示.

已知两个非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，作$\overrightarrow{0A}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{0B}$=$\overrightarrow{b}$,则$∠AOB=θ$$（0°≤θ≤180°）$叫做向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角.（注：向量夹角是在两个向量起点重合的时候观察到的）

2.当$θ=0°$：$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向；当$θ=180°$时，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$反向.

3.当$θ=90°$：则两个向量垂直，记作：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$.