双曲线的几何性质

1.$\frac{x^{2}}{a^{2}}$-$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>0，b>0$）.

实轴|$A_{1}A_{2}$|:2$a$；

虚轴|$B_{1}B_{2}$|:2$b$；

焦距|$F_{1}F_{2}$|:2$c$；

离心率$e＝\frac{c}{a}∈$(1，$+∞$)；

渐近线：$y＝±\frac{b}{a}x$.

2.$\frac{y^{2}}{a^{2}}$-$\frac{x^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>0，b>0$）.

实轴|$A_{1}A_{2}$|:2$a$；

虚轴|$B_{1}B_{2}$|:2$b$；

焦距|$F_{1}F_{2}$|:2$c$；

离心率$e＝\frac{c}{a}∈$(1，$+∞$)；

渐近线：$y＝±\frac{a}{b}x$.

3.通径：过焦点作椭圆实轴的垂线与椭圆形成的相交弦$L = \frac{2b^{2}}{a}$.

4.双曲线焦点到渐近线的距离：$b$.

双曲线的焦点三角形

双曲线上任意一点与两焦点组成的三角形为焦点三角形，$α$为焦点三角形的顶角，$S$为焦点三角形面积.

1.焦点三角形面积：$S=b^{2}cot^{2}\frac{α}{2}$=$\frac{b^{2}}{tan^{2}\frac{α}{2}}$.

2.焦点三角形内切圆半径 $r$=$\frac{2S}{C}$.（$C$为三角形周长）

3.焦点三角形外接圆半径 $r$= $\frac{sinα}{c}$.

双曲线的第二定义

1.定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数$e=\frac{c}{a}$($e>1$)的动点$M$的的轨迹叫做双曲线，定点为双曲线的一个焦点，定直线为双曲线的准线，常数$e$是双曲线的离心率.

2.准线

（1）$\frac{x^{2}}{a^{2}}$-$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>0$，$b>0$）对应于右焦点$F_{2}(c，0)$的准线称为右准线，方程是$x=\frac{a^{2}}{c}$；对应于左焦点$F_{1}(-c，0)$的准线称为称为左准线，方程是$x=-\frac{a^{2}}{c}$.

（2）$\frac{y^{2}}{a^{2}}$-$\frac{x^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>0$，$b>0$）对应于上焦点$F_{2}(0，c)$的准线称为上准线，方程是$y=\frac{a^{2}}{c}$；对应于下焦点$F_{1}(0，-c)$的准线称为称为下准线，方程是$y=-\frac{a^{2}}{c}$.

3.离心率$e$的几何意义：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比.