椭圆的概念与标准方程

知识点1  椭圆的概念

把平面内到两个定点$F_{1},F_{2}$的距离之和等于常数（大于|$F_{1}F_{2}$|）的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合$P$＝{$M$|$|MF_{1}|＋|MF_{2}|＝2a$}，

|$F_{1}F_{2}$|＝2$c$，其中$a>0，c>0$，且$a，c$为常数：

(1)若$a > c$，则集合$P$为椭圆;

(2)若$a ＝ c$， 则集合$P$为线段;

(3)若$a < c$，则集合$P$为空集.

知识点2  椭圆的标准方程

1.$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1

（$a>b>0$）

顶点坐标：

（$－a$，0），（$a$，0）， （0，$－b$），（0，$b$）

$a，b，c$的关系:$a^{2}＝b^{2}＋c^{2}$

焦点位置：$X$轴.

2.$\frac{y^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{x^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>b>0$）.

顶点坐标：（$－b$，0），（$b$，0）， （0，$－a$），（0，$a$）

$a，b，c$的关系:$a^{2}＝b^{2}＋c^{2}$

焦点位置：$Y$轴.

知识点3  点与椭圆的位置关系

（1）点$P$（$x_{0}，y_{0}$）在椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>b>0$）的内部⇔$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$<1.

（2）点$P$（$x_{0}，y_{0}$）在椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>b>0$）的外部⇔$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$>1.

（3）点$P$（$x_{0}，y_{0}$）在椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1 （$a>b>0$）上⇔$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1 .

根据条件求椭圆方程

知识点1  根据条件求椭圆方程

1.求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．

2.利用定义法求椭圆方程，要注意条件$2a$ >|$F_{1}F_{2}$|.

3.利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为$mx^{2}＋ny^{2}$＝1($m>0，n>0，m≠n$)的形式．

知识点2  巧设椭圆方程

1.与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1有共同离心率的方程可表示为$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝t(t>0).

2.与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}}$＝1有共同焦点的方程可表示为$\frac{x^{2}}{a^{2}+k}$＋$\frac{y^{2}}{b^{2}+k}$＝1.

3.过已知两个点的椭圆方程可设为$mx^{2}＋ny^{2}$＝1($m>0，n>0，m≠n$)的形式．