函数零点

知识点1 零点相关概念

1.零点的定义：函数$y=f（x）$的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．（注：零点不是点是一个$x$的值）

2.几个等价关系

方程$f（x）$＝0有实数根⇔函数$y＝f（x）$的图像与$x$轴有交点⇔函数$y＝f（x）$有零点．

知识点2 零点判定

零点存在性定理：若函数$y=f（x）$在闭区间$[a，b]$上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即$f（a）·f（b）<0$，则在区间$(a，b)$内，函数$y=f（x）$至少有一个零点，即相应的方程$f（x）＝0$在区间$(a，b)$内至少有一个实数解．

注：

（1）$f（a）·f（b）<0$说明在区间$(a，b)$内，函数$y=f（x）$至少有一个零点，而不是一个零点，可参照三次函数来理解.

（2）$f（a）·f（b）＞0$,不能说明在区间$(a，b)$内，函数$y=f（x）$没有零点，可参照二次函数来理解，所以零点存在性定理不能逆推.

知识点3 零点的求法

1.代数法：函数零点就是方程$f（x）=0$的实数根.

2.几何法：函数的零点就是$y=f（x）$与$x$轴的交点.

3.二分法：①确定区间$[a,b]$，验证$f（a）·f（b）<0$,给定精确度$ε$；

②求区间$(a,b)的中点c$；

③计算$f(c)$；

$a$.若$f(c)=0$，则$c$就是函数的零点；

$b$.若$f（a）·f（c）<0$，则令$b= c$（此时零点$x_{0}∈（a,c）$）；

$c$.若$f（c）·f（b）<0$，则令$a= c$（此时零点$x_{0}∈（c,b）$）；

④判断是否达到精确度$ε$:即若$|a-b|<ε$，则得到零点近似值$a（或b）$；否则重复步骤②~④．

二次函数零点的分布

知识点1 根的正负问题

1.方程$f（x）=0$的两个根都大于0需满足：①$b^{2}-4ac≥0$；②$x_{1}+x_{2}>0$；③$x_{1}·x_{2}>0$.

2.方程$f（x）=0$的两个根都小于0需满足：①$b^{2}-4ac≥0$；②$x_{1}+x_{2}＜0$；③$x_{1}·x_{2}>0$

3.方程$f（x）=0$的一正一负需满足：$x_{1}·x_{2}<0$.

知识点2 两根与k的大小关系

1.一个根小于$k$，一个根大于$k$需满足：$af（k）<0$.

2.两根都大于$k$需满足：$①b^{2}-4ac≥0$；②$af（k）>0$；③$-\frac{b}{2a}>k$.

3.两根都小于$k$需满足：$①b^{2}-4ac≥0$；②$af（k）>0$；③$-\frac{b}{2a}<k$.

知识点3 两根与区间$（k_{1},k_{2}）$的关系

1.两根都$（k_{1},k_{2}）$之内需满足：$①b^{2}-4ac＞0$；②$af（k_{1}）>0$；$③af（k_{2}）>0$；④$k_{1}<-\frac{b}{2a}<k_{2}$.

2.两根有且仅有一根在$（k_{1},k_{2}）$需满足：$①f（k_{1}）·f（k_{2}）<0$.（注：$f（k_{1}）$=0或者$f（k_{2}）$=0的情况）

3.两根都在在$（k_{1},k_{2}）$外需满足：①$af（k_{1}）<0$；②$af（k_{2}）<0$.