复数的相关概念

1.复数的概念：形如$a+bi$($a，b∈R$)的数叫做复数，其中$i$叫做虚数单位，$a$叫做实部，$b$叫做虚部，其$i^{2}=-1$.

注：虚数不能比较大小；

虚部是$b$，而不是$bi$.

2.复数的表示：全体复数所成的集合$C$叫做复数集。复数通常用字母$z$表示，即$z=a+bi(a，b∈R).$

3.复数相等的充要条件：在复数集$C$中任取两个复数$a+bi,c+di（a,b,c,d∈R）$,则$a+bi与c+di$相等的充要条件是$a=b,c=d$.

4.复数的分类：$z=a+bi（a,b∈R）$

（1）$a＋bi$为实数⇔$b＝0$；

（2）$a＋bi$为虚数⇔$b≠0$；

（3）$a＋bi$为纯虚数⇔$a＝0且b≠0$.

复数的几何意义

1.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，$x$轴叫做实轴，$y$轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义：复数$z=a+bi（a,b∈R）$与复平面内的点$z（a,b）$以及平面向量$\overrightarrow{Oz}$=$（a,b）$是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）.

3.复数的模：向量$\overrightarrow{Oz}$的模叫做复数$z=a+bi$的模，记作$|z|或|a+bi|$，表示点$（a,b）$到原点的距离，即$|z|=|a+bi|$=${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

复数的运算

1.复数的运算律

设 $z_{1}=a+b i,z_{2}=c+d_{1}$,$ a,b,c,d \in \mathbf{R}$

（1）$z_{1} \pm z_{2}=a+b i+c+d i$=$(a+c)+(b+d) i$

（2）$z_{1} \cdot z_{2}=(a+b i) \cdot(c+d i)$=$(a c-b d)+(b c+a d) i$

（3）$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+b i)}{(c+d i)}=\frac{(a+b i)(c-d i)}{(c+d i) \cdot(c-d i)}$=$\frac{(a c+b d)+(b c-a d) i}{c^{2}+d^{2}}$

2.几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形 $OZ_{1}ZZ_{2}$可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即$\overrightarrow{O Z}= \overrightarrow{O Z}_{1}+\overrightarrow{O Z}_{2},\overrightarrow{Z_{1} Z_{2}}=\overrightarrow{O Z}_{2}-\overrightarrow{O Z}_{1}$.

3.常用结论

（1）$ i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1$求 $i^{n}$,只需将$n$除以4 看余数是几就是 $i$ 的几次.

（2）$(1+i)^{2}=2 i$,$\quad(1-i)^{2}=-2 i$.

（3）$\frac{1+1}{1-i}=i ; \frac{1-i}{1+i}=-i$.

4.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.一般z的共轭复数用 $\bar{z}$表示.

（1）$z=a+bi$的共轭复数记作$\bar{z}$=$a-bi$且$z$·$\bar{z}$ =$a^{2}+b^{2}$.

（2）$|z|=|\bar{z}$|.