有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例:$S_{n}$为数列$C_{n}$的前$n$项和，{$a_{n}$}为等差数列，{$b_{n}$}为等比数列且满足：$C_{n}$=$a_{n}$±$b_{n}$，此时求$S_{n}$使用分组求和即可.
$S_{n}$=($a_{1}+a_{2}+a_{3}+……+a_{n}$)±($b_{1}+b_{2}+b_{3}+……+b_{n}$)=$A_{n}±B_{n}$（其中$A_{n}$为{$a_{n}$}前$n$项和，$B_{n}$为{$b_{n}$}前$n$项和
把数列的通项拆成两项之差. 在求和时中间的一些项可以相互抵消. 从而求得其和。常见裂项有:
1.$\frac{1}{\mathrm{n}^{2}+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ ；$ \frac{1}{n^{2}+2 n}=\frac{1}{n(n+2)}$=$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$
2.$\frac{1}{\mathrm{n}^{2}-n}=\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ ；$ \frac{1}{n^{2}-2 n}=\frac{1}{n(n-2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}\right)$
可总结为: $\frac{1}{\mathrm{n}^{2}-\mathrm{k} n}=\frac{1}{n(n-k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n-\mathrm{k}}-\frac{1}{n}\right)$
3.$\frac{1}{n^{2}-4}=\frac{1}{(n+2)(n-2)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2}\right)$
$ \frac{1}{4 n^{2}-1}=\frac{1}{(2 n+1)(2 n-1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$
(总结: 因式分解后的两个式子相差多少,分解后就在前面乘几分之一，和 $\mathrm{n}$ 的系数无关 $)$
4.拓展
$\frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ；
$ \frac{2^{n}}{\left(2^{n}-1\right)\left(2^{n+1}-1\right)}=\frac{1}{2^{n}-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1} $；$ \log _{a} \frac{n+1}{n}=\log _{a}(n+1)-\log _{a} n$.
（注：裂项后能相消的项数一定是对称的，例如裂项后保留了第一项那么就一定保留了最后一项；裂项后保留了第一项和第三项那么就一定保留了最后一项与倒数第三项）.
如果一个数列{$a_{n}$}的前$n$项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前$n$项和可用倒序相加.如等差数列的前$n$项和公式即是用此法推导的．
例：$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+···+a_{n}$.① $S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+···+a_{1}②$
①+②即可.
在一个数列的前$n$项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如$a_{n}＝(－1)^{n}f(n)$类型，可采用两项合并求解．
例如，$S_{n}$＝$100^{2}－99^{2}＋98^{2}－97^{2}＋$…$＋2^{2}－1^{2}$
＝$(100^{2}－99^{2})＋(98^{2}－97^{2})＋$…$＋(2^{2}－1^{1})$
＝$(100＋99)（100-99）＋(98＋97)（98-97）＋$…$＋(2＋1)（2-1）$
$＝5050$.
1.使用条件
若{$a_{n}$}为等差数列，{$b_{n}$}为等比数列，求数列{$a_{n}$·$b_{n}$}（差比数列）前$n$项和（等差与等比相除时可转化为乘积形式），求$S_{n}$时可用错位相减，其中$q$为{$b_{n}$}的公比.
2.具体步骤
步骤1：写出$S_{n}＝c_{1}＋c_{2}＋…＋c_{n}；$
步骤2：等式两边同乘以等比数列的公比$q$，得
$qS_{n}＝qc_{1}＋qc_{2}＋…＋qc_{n}$；
步骤3：两式错位相减转化成等比数列求和；
$S_{n}＝c_{1}＋c_{2}＋…＋c_{n}$$\quad$①
$qS_{n}＝\quad qc_{1}＋qc_{2}＋…＋qc_{n}$②
①-②即可
（注：错位写的时候可以讲空白位置填上0，减少错误率）
步骤4：两边同除以$1－q$，求出$S_{n}$.同时注意对$q$是否为1进行讨论.