平面的法向量

平面的法向量可利用方程组求出：设向量$\overrightarrow{a}$＝（$a_{1},a_{2},a_{3}$），向量$\overrightarrow{b}$＝($b_{1},b_{2},b_{3}$)是平面$α$内两不共线向量，$\overrightarrow{n}$＝（$n_{1},n_{2},n_{3}$）为平面α的法向量，则求法向量$\overrightarrow{n}$的方程组为：

$\overrightarrow{n}$·$\overrightarrow{a}$ =0，$\overrightarrow{n}$·$\overrightarrow{b}$ =0，然后令$n_{1},n_{2},n_{3}$中的一个值，求出其余两个值.

空间向量的夹角

设$\overrightarrow{a}$＝（$a_{1},a_{2},a_{3}$），$\overrightarrow{b}$＝($b_{1},b_{2},b_{3}$)，则:

$cos<\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}>=\frac{a_{1} ·b_{1}+a_{2}· b_{2}+a_{3}· b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}·\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$，

$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成的角$θ$的范围：[0，180°].

两直线夹角公式

设$\overrightarrow{a}$＝（$a_{1},a_{2},a_{3}$），$\overrightarrow{b}$＝($b_{1},b_{2},b_{3}$)分别是两直线$l_{1}$，$l_{2}$的方向向量，则

$cos θ$＝$\frac{a_{1}· b_{1}+a_{2}· b_{2}+a_{3}· b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} ·\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

$l_{1}$与$l_{2}$所成的角$θ$的范围：[0，90°].

直线与平面的夹角

设直线$l$的方向向量为$\overrightarrow{a}$=（$a_{1},a_{2},a_{3}$），平面$α$的法向量为$\overrightarrow{n}$=($b_{1},b_{2},b_{3}$)，直线$l$与平面$α$所成的角为$θ$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$β$，则$sin θ$＝|$cos β$|

＝$\frac{|\overrightarrow{a}·\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{a}|·|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|a_{1}· b_{1}+a_{2}· b_{2}+a_{3}·b_{3}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}·\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ ，$θ$的范围[$0，90°$].

二面角的计算

1.设直线平面$α$的法向量为$\overrightarrow{n_{1}}$=（$a_{1},a_{2},a_{3}$），平面$β$的法向量为$\overrightarrow{n_{2}}=$($b_{1},b_{2},b_{3}$)，两法向量所成的角为$θ$，则$cos θ$＝$\frac{\overrightarrow{n_{1}}·\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}|·|\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ .



求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.

二面角的大小与法向量$\overrightarrow{n_{1}}$ 、$\overrightarrow{n_{2}}$夹角相等或互补.通过观察题目中的二面角可确定二面角的大小，判断出二面角和法向量的夹角是相等还是互补.

2.二面角范围：[$0，180°$]