球与多面体的接切问题

1.正方体的棱长为$a$，球的半径为$R$

①若球为正方体的外接球，则$2R＝\sqrt{3}a$

②若球为正方体的内切球，则$2R＝a$

③若球与正方体的各棱相切，则$2R＝\sqrt{2}a$

2.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为$a，b，c$，外接球的半径为$R$，则$2R＝\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$.

3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为$a$的正四面体的内切球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{12}a$,外接球的半径为$\frac{\sqrt{6}}{4}a$.

外接球经典合集

根据初中的垂径定理可得：弦的中垂线过圆心.类比于高中的球类可得：过面中心的垂线经过球心.例如直四棱柱的球心一定在过底面对角线的垂线上.根据这点可以总结出以下几类型的外接球半径求法：

知识点1 三条侧棱两两垂直外接球

$2R$=$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$($a,b,c$为侧棱长,R为外接球半径).

知识点2 一条线垂直底面外接球

$R$=$\sqrt{R_{1}^{2}+\frac{h^{2}}{4}}$($R_{1}$为底面外接圆半径，$h$为高).

知识点3 正棱锥外接球

$R$=$\frac{l^{2}}{2h}$（$l$为侧棱长，$h$为高）.

知识点4 两面垂直面的外接球

$R^{2}$=$R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{l^{2}}{4}$($R_{1},R_{2}$为两个面外接圆半径，$l$为交线长).

知识点5 两面不垂直面的外接球

$R^{2}$=$\frac{m^{2}+n^{2}-2mncosθ}{sin^{2}θ}+\frac{l^{2}}{4}$（$m,n$为两个外接圆圆心到交线的距离，$θ$为二面角，$l$为交线）.

内切球半径

知识点1 等体积法

例：三棱锥内切球半径计算思路：内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积相等.球心到每个面的距离即为内切球球心，即为分割后棱锥的高.

内切球半径$r$=$\frac{3V}{S}$($V$为棱锥体积，$S$为棱锥表面积).

知识点2 相似法

画出内切时的剖面图，如图根据相似求出内切圆半径.