离散型随机变量

知识点1 离散型随机变量

1.随机变量定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母$X,Y$，ξ，η等表示.

2.随机变量的分类

（1） 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 

（2）连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量. 

（3）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.

知识点2 分布列

设离散型随机变量$X$可能取的不同值为$x_{1},x_{2}···x_{n}$， 且$X$的每一个值$x_{i}（i=1,2,...，n）$的概率$P(X=x_{i})=P_{i}$，列表如下:

此表简称$X$的分布列.

性质：$P_{i}≥0（i=1,2,...，n)$;

$P_{1}+P_{2}+...+P_{n}=1.$

离散型随机变量的期望与方差

1.离散型随机变量的均值（数学期望） 

一般地，若离散型随机变量$X$的分布列为：

则称:$E（X）=x_{1}P_{1}+x_{2}p_{2}+...+x_{n}P_{n}$

为离散型随机变量$X$的均值或数学期望（简称期望）.

它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

性质：$（1）E（aX+b）=aE（X）+b$；

$（2）若X服从两点分布，则E（X）=p$；

$（3）若X服从二项分布X～B（n,p）$，则$E（X）=np$；

$（4）若X服从几何分布，则E（X）$= $\frac{1}{p}$；

$（5）若X服从超几何分布，则E（X）$=$\frac{nM}{N}$.

2.离散型随机变量的方差

一般地，设离散型随机变量X的分布列的方差为$D（X）$.

则：$D（X）$=$$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))^{2}P_{i}$$为离散随机变量$X$的方差.并称其算术平方根为随机变量$X$的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

$D（X）$越小，$X$的稳定性越高，波动越小，取值越集中；$D（X）$越大，$X$的稳定性越差，波动越大，取值越分散.

性质：$（1）D（aX+b）=a^{2}·D（X）$；

$（2）若X服从两点分布$，$则D（X）=p（1-p）$；

$（3）若X服从二项分布X～B（n,p）$，$则D（X）=np（1-p）$；

$（4）若X服从几何分布$，$则D（X）= \frac{1-P}{p^{2}}$.

二项分布

二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是$p$，那么在$n$次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：

 $P_{n}（X=k）$=${C_{n}^{k}}P^{k}（1-p）^{n-k}$

其中$k=0，1,2...n, q=1-p$,于是得到随机变量$X$的概率分布如下：

我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作$X～B（n,p）$，并称$p$为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： 

（1）对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；

（2）重复性：即试验是独立重复地进行了$n$次；

（3）等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.

注意：①二项分布的模型是有放回抽样；

②二项分布中的参数是$p,n,k$（$p$是每次事件发生的概率，$n$表示进行的实验次数，$k$表示事件恰好发生的次数）

几何分布

1.定义：在$n$次实验中，试验$k$次才得到第一次成功的机率.也就是前$k-1$次皆失败，第$k$次成功.

概率计算：记每次试验中事件$A$发生的概率为$p$，试验进行到事件$A$出现时停止，此时所进行的试验次数为$X$，其分布列为：

且有$P（X=k）$=${（1-p）^{k-1}}·P^{k}{}$($k=1，2，…，0<p<1$)，

此时称随机变量ξ服从几何分布.

超几何分布

定义：一般地,在含有$M$件次品的$N$件产品中，任取$n$件,其中恰有$X$件次品数,则事件发生的概率为：

$\boldsymbol{P}(\boldsymbol{X}=\boldsymbol{k})=\frac{C_{M}^{k} C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}$

$\boldsymbol{k} \in\{\mathbf{0},\mathbf{1},\boldsymbol{2},\cdots,\boldsymbol{m}\}$

我们称这样的随机变量$X$的分布列为超几何分布列,且称随机变量$X$服从超几何分布. 

注:（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）超几何分布中的参数是$M，N,n$其意义分别是:总体中的个体总数、$N$中一类的总数、样本容量. 

正态分布

1.正态曲线

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$,$\quad(-\infty<x<+\infty)$

其中$σ$和μ都是常数，μ任意σ>0，则称$X$服从参数为μ和σ²的正态分布.记作：

X~N（μ，σ²）

$f（x）$所确定的曲线叫作正态曲线.

正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正态分布。

2.正态曲线的性质

（1）曲线在x轴的上方，与$x$轴不相交.

（2）曲线关于$x$=μ对称.

（3）曲线在$x$=μ时位于最高点.

（4）当$x$<μ时，曲线上升；当$x$>μ时，曲线下降.并且当曲线向左右两边无限延伸时，以$x$轴为渐近线，向它无限靠近.

（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；当σ一定时，曲线随μ的变化而沿$x$轴平移.

（6）曲线与$x$轴围成的面积为1.

3.正态总体的三个特殊区间内的取值概率

p（μ-σ<$X$<μ+σ）=0.6826

p（μ-2σ<$X$<μ+2σ）=0.9544

p（μ-3σ<$X$<μ+3σ）=0.9974

可以认为，$X$的取值几乎全部集中在[μ-3σ,μ+3σ]区间内，这在统计学上称作“3σ原则”.