空间图形的基本关系与公理

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类：

①共面直线：相交或平行

②异面直线：无交点也不相交.

(2)异面直线所成的角

①定义：设$a，b$是两条异面直线，经过空间任一点$O$作直线$a′$∥$a$，$b′$∥$b$，把$a′与b′$所成的锐角（或直角）叫作异面直线$a与b$所成的角（或夹角）．

②范围：（0，90°].

3.直线与平面的位置关系

直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.

4.平面与平面的位置关系

平行、相交.

5.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

平行关系

知识点1  平行关系的判定与性质

1.直线与平面平行

判定：若$a$⊆$平面α$，$b$⊈$平面α$，则$b$∥$平面α$.

性质：若$a$∥$平面α$，$a$⊆$平面β$，$平面α$∩$平面β$＝$b$，则$a$∥$b$.

2.平面与平面平行

判定：若$a$⊆平面$β$，$b$⊆平面$β$，$a∩b＝P$，$a$∥平面$α$，$b$∥平面$α$，则平面$α$∥平面$β$.

性质1：若平面$α$∥平面$β$，$a$⊆平面$α$，则$a$∥平面$β$.

性质2：若平面$α$∥平面$β$，平面$γ$∩平面$α$=$a$,平面$γ$∩平面$β$=$b$,则$a$∥$b$.



知识点2  平行关系的重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若$a⊥平面α，a⊥平面β$，则平面$α$∥平面$β$.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若$a⊥平面α，b⊥平面α$，则$a$∥$b$.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若$平面α$∥$平面β$，$平面β$∥$平面γ$，则$平面α$∥$平面γ$.

垂直关系

知识点1  垂直关系的判定与性质

1.直线与平面垂直

判定：若$a⊥m$，$a⊥n$，$m且n$⊆平面$α$，$m∩n＝P$，则$a$⊥平面$α$ .

性质：若$a$⊥平面$α$，$b$⊆平面$α$，则$a⊥b$ .

2.平面与平面垂直

判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

符号语言：若$a$⊥平面$α$，$a$⊆平面$β$，则平面$α$⊥平面$β$.

性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

符号语言：平面$α$⊥平面$β$，平面$α$∩平面$β$=$b$，$a$⊆平面$β$，若$a⊥b$，则$a⊥平面$α$ .

知识点2  垂直关系的重要结论

1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

3.垂直于同一条直线的两个平面平行．

4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．