《三维空间求解路程、位移》三维空间求解路程、位移 - 人教版高考物理复习物理知识点练习 - 读趣百科

《三维空间求解路程、位移》三维空间求解路程、位移

1单选题

如图，一个边长为4cm的立方体，点B为一条棱的中点，点A为一条棱的$\frac {1}{4}$处，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B，它爬行的最短距离为(       )

A
6
B
$\sqrt {41}$
C
4
D
2+2$\sqrt {7}$

题目答案

B

答案解析

分析：

把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得蚂蚁到爬行的最短距离．

解答：

解：如图1所示：过点B作BC⊥AC于点C，

∵一个边长为4cm的立方体，点B为一条棱的中点，点A为一条棱的$\frac {1}{4}$处，

∴AC=3+2=5(cm)，BC=4cm，

∴AB=$\sqrt {}$=$\sqrt {41}$(cm)，

如图2所示：∵一个边长为4cm的立方体，点B为一条棱的中点，点A为一条棱的$\frac {1}{4}$处，

∴AC=3(cm)，BC=6cm，

∴AB=$\sqrt {}$=3$\sqrt {5}$(cm)，

∵$\sqrt {41}$＜3$\sqrt {5}$，

∴一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B，它爬行的最短距离为$\sqrt {41}$cm．

故答案为：$\sqrt {41}$，所以选B．

点评：

此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，解题的关键是会将正方体的侧面展开，并利用勾股定理解答，注意分类讨论的思想的应用．

纠错重做

2单选题

如图，正方体的长为1，一只蚂蚁如果要沿着正方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是(        )

A
6
B
$\sqrt {5}$
C
4
D
2+2$\sqrt {2}$

题目答案

B

答案解析

分析：

根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．

解答：

解：如图所示：AB=$\sqrt {}$=$\sqrt {5}$．

故答案为：$\sqrt {5}$，所以选B．

点评：

此题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理的应用，得出正确的展开图是解决问题的关键．

纠错重做

3单选题

如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是(　　)

A
6
B
2$\sqrt {5}$
C
4
D
2+2$\sqrt {2}$

题目答案

B

答案解析

分析：

要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

解答：

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．

AB=$\sqrt {}$=2$\sqrt {5}$．

故选B．

点评：

本题是一道平面展开-最短路径问题，本题主要考查两点之间线段最短．

纠错重做

4单选题

如图，立方体木块ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的棱长为3；在棱C$_1$D$_1$上有一点E，EC$_1$=1．现有一小虫从E点出发，爬到A点，则它所经过的最短路线长为（　　）

A
3+$\sqrt {13}$
B
$\sqrt {20}$
C
$\sqrt {34}$
D
$\sqrt {22}$

题目答案

C

答案解析

分析：

将立方体木块展开在同一平面，连接EA，进而求出此线段的最短距离．

解答：

解：如图1，由题意展开后，连接EA，

EA_=(3+3)_+2_，

解得EA=2$\sqrt {10}$，

如图2，由题意展开后，连接EA，

EA_=(2+3)_+3_，解得EA=$\sqrt {34}$，

由2$\sqrt {10}$＞$\sqrt {34}$，

故它所经过的最短路线长为：$\sqrt {34}$．

故选C．

点评：

本题涉及最短路径问题，难度中等．

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5单选题

如图，长方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，AB=3，BC=2，BB$_1$=1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C$_1$点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（　　）

A
$\sqrt {14}$
B
3$\sqrt {2}$
C
2$\sqrt {5}$
D
$\sqrt {26}$

题目答案

B

答案解析

分析：

要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．

解答：

解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AC$_1$即为最短路线．

①

∵AB=3，BC=2，BB$_1$=1，

∴在Rt△ACC$_1$中，AC=AB+BC=5，CC$_1$=BB$_1$=1，

∴AC1=$\sqrt {}$=$\sqrt {26}$；

②



∵AB=3，BC=2，BB$_1$=1，

∴B1C1=BC=2，

∴B$_1$C$_1$=BB$_1$+B$_1$C$_1$=3，

∴AC1=$\sqrt {}$=$\sqrt {18}$=3$\sqrt {2}$；

∵3$\sqrt {2}$＜$\sqrt {26}$．

∴蚂蚁所行路程的最小值为3$\sqrt {2}$．

故选B．

点评：

此题考查了最短路径问题．主要是两点之间线段最短定理的应用，要注意数形结合思想的应用．

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6填空题

如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm，一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处，蚂蚁爬行的最短路程是cm．

填空题答案仅供参考

题目答案

100

答案解析

分析：

蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视(或正视和侧视，或俯视和侧视)二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．

解答：

解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，



则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，

则所走的最短线段AB=$\sqrt {}$=10$\sqrt {106}$cm；

第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，



则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，

所以走的最短线段AB=$\sqrt {}$=10$\sqrt {130}$cm；

第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，



则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，

所以走的最短线段AB=$\sqrt {}$=100cm；

三种情况比较而言，第三种情况最短．

故答案为：100cm．

点评：

本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．

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