《万有引力定律的推论》万有引力定律的推论 - 人教版高考物理复习物理知识点练习 - 读趣百科

《万有引力定律的推论》万有引力定律的推论

1单选题

假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　）

A
1-$\frac {d}{R}$
B
1+$\frac {d}{R}$
C
($\frac {R-d}{R}$)2
D
($\frac {R}{R-d}$)2

题目答案

A

答案解析

分析：

根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，矿井深度为d的井底的加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可．

解答：

解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=G$\frac {M}{R}$，由于地球的质量为：M=ρ$\frac {4}{3}$πR_，所以重力加速度的表达式可写成：

g=$\frac {GM}{R}$=G$\frac {ρ$\frac {4}{3}$πR}{R}$=$\frac {4}{3}$GρπR．

根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于(R-d)的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac {4}{3}$Gρπ(R-d)

所以有$\frac {g′}{g}$=$\frac {$\frac {4}{3}$Gρπ(R-d)}{$\frac {4}{3}$GρπR}$=$\frac {R-d}{R}$=1-$\frac {d}{R}$

故选A．

点评：

抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在矿井底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为(R-d)的球体的质量．

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2多选题

(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（　　）

A
线速度v=$\sqrt {}$
B
角速度w=$\sqrt {gR}$
C
运行周期T=2π$\sqrt {}$
D
向心加速度a=$\frac {Gm}{R}$

题目答案

AC

答案解析

分析：

研究探月航天器绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出问题．

向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所要求解的物理量选取应用．

不考虑月球自转的影响，万有引力等于重力．

解答：

解：根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力和万有引力等于重力得出：

A、G$\frac {Mm}{R}$=m$\frac {v}{R}$⇒v=$\sqrt {}$故A正确；

B、mg=mω_R⇒ω=$\sqrt {}$故B错误；

C、mg=m$\frac {4π}{T}$R⇒T=2π$\sqrt {}$故C正确；

D、G$\frac {Mm}{R}$=ma⇒a=G$\frac {M}{R}$故D错误．

故选AC．

点评：

应用万有引力定律进行卫星加速度、速度、周期和中心天体质量的估算．

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3单选题

理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示．在x轴上各位置重力加速度大小用g表示，地球表面处重力加速度大小用g_0表示，则选项的四个g值随x的变化关系图正确的是(　　)

A
B
C
D

题目答案

A

答案解析

分析：

根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，在其内部距离地心距离为r处一点的加速度相当于半径为r的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可．

解答：

解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=$\frac {GM}{R}$

由于地球的质量为M=$\frac {4}{3}$πR_•ρ，

所以重力加速度的表达式可写成：g=$\frac {4πGRρ}{3}$．

根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为R-r的井底，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，g′=$\frac {4πGrρ}{3}$

当r＜R时，g与r成正比，当r＞R后，g与r平方成反比．

故选：A．

点评：

抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在地球内部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为r的球体的质量．

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4单选题

如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为$\frac {R}{2}$的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)

A
G$\frac {Mm}{R}$
B
0
C
4G$\frac {Mm}{R}$
D
G$\frac {Mm}{2R}$

题目答案

D

答案解析

分析：

采用割补法，先将空腔填满，根据万有引力定律列式求解万有引力，该引力是填入的球的引力与剩余部分引力的合力；注意均匀球壳对内部的质点的万有引力的合力为零．

解答：

解：采用割补法，先将空腔填满；

填入的球的球心与物体重合，填入球上各个部分对物体m的引力的矢量和为零；

均匀球壳对内部的质点的万有引力的合力为零，根据万有引力定律，有：

G$\frac {($\frac {M}{8}$)m}{($\frac {R}{2}$)}$=F+0

解得：

F=$\frac {GMm}{2R}$

故选：D．

点评：

本题关键是采用割补法分析，同时要注意球壳对球心的物体的万有引力为零，不难．

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5单选题

小球质量为M、半径为R，在距其球心r=2R处有一质量为m的质点，M对m的万有引力大小为F，现在小球内挖掉一个与大球相切的、半径为$\frac {R}{2}$的小球，如图所示，则剩余部分对质点m的万有引力大小为(　　)

A
$\frac {F}{8}$
B
$\frac {7F}{9}$
C
$\frac {3F}{8}$
D
$\frac {F}{2}$

题目答案

B

答案解析

分析：

用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答：

解：在小球内部挖去一个半径为$\frac {R}{2}$=0.5R的小球，

挖去小球的质量为：m′=($\frac {0.5R}{R}$)_M=0.125M，

挖去小球前球与质点的万有引力：F=G$\frac {Mm}{r}$=G$\frac {Mm}{(2R)}$，

被挖部分对质点的引力为：F′=G$\frac {m′m}{(r-0.5R)}$=G$\frac {0.125Mm}{(2R-0.5R)}$，

剩余部分的引力为：F_剩余=F-F′，解得：F_剩余=$\frac {7}{9}$F；

故选：B．

点评：

本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，而不是直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体，其引力直接由公式得到．

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6单选题

如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F．如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r=$\frac {R}{2}$，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)

A
$\frac {1}{2}$F
B
$\frac {1}{8}$F
C
$\frac {7}{8}$F
D
$\frac {1}{4}$F

题目答案

C

答案解析

分析：

用没挖之前球对小球的引力，减去被挖部分对小球的引力，就是剩余部分对质点的引力．结合万有引力定律公式进行求解．

解答：

解：根据m=ρ$\frac {4}{3}$πr_知，挖去部分的小球是整个实心球质量的$\frac {1}{8}$，

挖去部分的质量m=$\frac {1}{8}$M，

设没挖去前，对小球的引力F=G$\frac {Mm}{R}$，

挖去的部分对质点的引力F′=$\frac {Gmm}{R}$=$\frac {1}{8}$F，

则剩余部分对质点P的引力F″=F-F′=$\frac {7}{8}$F．

故选：C．

点评：

本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，因为挖去后重心还在圆心，也可以通过万有引力定律公式直接求解，注意若不在圆心处挖去，不能运用公式直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体．

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7单选题

有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现从M中挖去半径为$\frac {1}{2}$R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为(　　)

A
$\frac {7GMm}{36R}$
B
$\frac {7GMm}{8R}$
C
$\frac {GMm}{18R}$
D
$\frac {7GMm}{32R}$

题目答案

A

答案解析

分析：

用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答：

解：在小球内部挖去一个半径为$\frac {1}{2}$R的球体，挖去小球的质量为：m′=($\frac {0.5R}{R}$)_M=$\frac {1}{8}$M，

挖去小球前球与质点的万有引力：F″=G$\frac {Mm}{(2R)}$=$\frac {GMm}{4R}$，

被挖部分对质点的引力为：F′=$\frac {G$\frac {1}{8}$Mm}{($\frac {3R}{2}$)}$=$\frac {GMm}{18R}$，

则剩余部分对m的万有引力F=F″-F′=$\frac {7GMm}{36R}$．

故选：A．

点评：

本题的关键就是要对挖之前的引力和挖去部分的引力计算，而不是直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个不规则球体，其引力直接由公式得到．

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