《人造卫星的多次变轨问题》人造卫星的多次变轨问题

1多选题

(多选)我国计划在2025年实现载人登月，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是(　　)

图中航天飞机正加速飞向B处

航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速

根据题中条件可以算出月球质量

根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小

题目答案

ABC

答案解析

分析：

A、根据万有引力做功情况判断动能增加还是减小．

B、通过到达B处万有引力是否够提供向心力而决定加速还是减速．

C、根据万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=mr($\frac {2π}{T}$)_，去求月球的质量．

D、空间站的质量未知，无法求出空间站所受的引力大小．

解答：

解：A、航天飞机关闭动力后，在月球的引力下向月球靠近，万有引力做正功，动能增加．故A正确．

B、到达B处速度比较大，所需的向心力比较大，万有引力不够提供向心力，航天飞机做离心运动，要想进入圆轨道需减速，使得万有引力等于所需的向心力．故B正确．

C、根据万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=mr($\frac {2π}{T}$)_，M=$\frac {4π_r}{GT}$．故C正确．

D、因为空间站的质量未知，所以无法求出空间站所受的引力大小．故D错误．

故选ABC．

点评：

解决本题的关键掌握万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=mr($\frac {2π}{T}$)_，以及知道会通过引力的做功判断动能的变化．

2多选题

(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．已知地球半径为R，同步轨道3距地面的高度为6R，地球自转周期为T，卫星在近地圆轨道上运行周期为T_0，万有引力常数为G．则下列说法正确的是(　　)

卫星在轨道2上经Q点的速度比在轨道2上经P点的速度大

卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

卫星在轨道2上经P点的速度比在轨道3上经P点时的速度小

由题给条件可知地球密度为$\frac {1029π}{}$

题目答案

答案解析

分析：

根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、和向心力的表达式进行讨论即可．

解答：

解：A、轨道2上经Q点和轨道2上经P点分别是近地点和远地点，根据开普勒第三定律得

卫星在轨道2上经Q点的速度大于在轨道2上经P点的速度，故A正确

B、根据牛顿第二定律和万有引力定律得：a=$\frac {GM}{r}$，所以卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，故B错误

C、在椭圆轨道远地点实施变轨成圆轨道是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必须万有引力小于卫星所需向心力，所以应给卫星加速，增加所需的向心力，卫星在轨道3上经过P点的速率大于在轨道2上经过P点的速率，故C正确．

D、卫星在近地圆轨道上运行，根据人造卫星的万有引力等于向心力得

$\frac {GMm}{R}$=m$\frac {4π_R}{}$

M=$\frac {4π_R}{GT}$

地球密度ρ=$\frac {M}{V}$=$\frac {3π}{GT}$，故D错误

故选AC．

点评：

本题关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出线速度和角速度的表达式，再进行讨论．

3多选题

(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3．轨道1、2相切于A点，轨道2、3相切于B点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)

卫星在轨道1上的运行速率大于轨道3上的速率

卫星在轨道1上的角速度小于在轨道3上的角速度

卫星在椭圆轨道2上经过A点时的速度大于7.9km/s

卫星在椭圆轨道2上经过B点时的加速度等于它在轨道3上经过B点时的加速度

题目答案

ACD

答案解析

分析：

根据万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=m$\frac {v}{r}$，卫星的速度为v=$\sqrt {}$．根据开普勒第三定律，卫星在轨道1上的周期较小，因此角速度最大．

卫星在轨道1上的速度为7.9 km/s，要过度到轨道2，在A点应该做离心运动，速度应该较大．速度可以瞬间变化，但是在同一个位置处万有引力相等，加速度相等．

解答：

解：A、人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有G$\frac {Mm}{r}$=m$\frac {v}{r}$，得v=$\sqrt {}$．轨道3半径比轨道1半径大，卫星在轨道1上线速度较大，故A正确；

B、ω=$\frac {v}{r}$=$\sqrt {}$，轨道3半径比轨道1半径大，卫星在轨道3上角速度较小，故B错误；

C、卫星在轨道1上的速度为7.9 km/s，要过渡到轨道2，在A点应该做离心运动，速度应该增大，选项C正确．

D、根据牛顿第二定律和万有引力定律G$\frac {Mm}{r}$=ma，得a=$\frac {GM}{r}$，所以卫星在轨道2上经过B点的加速度等于在轨道3上经过B点的加速度．故D正确．

故选：ACD．

点评：

本题考查卫星的变轨和离心运动等知识，关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出线速度和角速度的表达式，再进行讨论．

4单选题

“嫦娥二号”原本是“嫦娥一号”的备份卫星，因此两颗星在外形和重量上并没有太大差别．不过它的绕月飞行轨道将由“嫦娥一号”时的200公里高度降低到100公里，这样就能把月球看得更清楚．它们绕月球运动的示意图如图所示(轨道视为圆周)，则下列有关探月卫星的说法正确的是(　　)

“嫦娥二号”卫星绕月球运行的速度小于“嫦娥一号”卫星绕月球的速度

“嫦娥二号”卫星绕月球运行的周期大于“嫦娥一号”卫星绕月球的周期

“嫦娥二号”卫星所在位置的加速度比“嫦娥一号”所在位置的加速度大

“嫦娥一号”卫星在绕月轨道上经过加速变轨可到达“嫦娥二号”的绕月轨道

题目答案

答案解析

分析：

根据月球对嫦娥卫星的万有引力提供向心力，可分别得到周期、线速度、向心加速度与轨道半径的关系来分析．

解答：

解：根据月球对嫦娥卫星的万有引力提供向心力得

$\frac {GMm}{r}$=$\frac {mv}{r}$=m$\frac {4π_r}{T}$=ma

A、根据v=$\sqrt {}$，“嫦娥二号”环月运行时的线速度比“嫦娥一号”更大．故A错误．

B、根据T=2π$\sqrt {}$，“嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”更小．故B错误

C、根据a=$\frac {GM}{r}$，“嫦娥二号”环月运行时的向心加速度比“嫦娥一号”更大，故C正确

D、“嫦娥一号”卫星在绕月轨道上经过加速，将做离心运动，不可能到达“嫦娥二号”的绕月轨道，故D错误

故选C．

点评：

本题考查运用万有引力定律与圆周运动知识解决实际问题的能力，要灵活选择公式的形式．

5多选题

(多选)2010年10月1日18时59分57秒，搭载着嫦娥二号卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探究，下列说法正确的是(　　)

卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度大

卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时小

卫星在轨道Ⅲ上经过P点的加速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大

卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多

题目答案

答案解析

分析：

A、第一宇宙速度为贴着星球表面做匀速圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=m$\frac {v}{r}$比较线速度与第一宇宙速度的大小．

B、卫星从轨道Ⅰ上的P点进入轨道Ⅲ，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动．

C、根据牛顿第二定律，通过比较万有引力比较加速度的大小．

D、卫星从轨道Ⅱ上的P点进入轨道Ⅰ，需加速，做半径更大的椭圆运动．

解答：

解：A、根据万有引力提供向心力G$\frac {Mm}{r}$=m$\frac {v}{r}$知，v=$\sqrt {}$，半径越小，线速度越大．第一宇宙速度的轨道半径小于轨道Ⅲ的半径，所以在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小．故A错误．

B、卫星从轨道Ⅰ上的P点进入轨道Ⅲ，需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，所以卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时小．故B正确．

C、卫星在轨道Ⅲ上经过P点和在轨道Ⅰ上经过P点时，万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等．故C错误．

D、卫星从轨道Ⅱ上的P点进入轨道Ⅰ，需加速，机械能增大，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多．故D正确．

故选BD．

点评：

解决本题的关键掌握卫星的变轨问题，知道当万有引力不够提供向心力时，卫星做离心运动．

6多选题

(多选)我国第五颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星．如图所示，假若第五颗北斗导航卫星先沿椭圆轨道Ⅰ飞行，后在远地点P处由椭圆轨道Ⅰ变轨进入地球同步圆轨道Ⅱ．下列说法正确的是(　　)

卫星在轨道Ⅱ运行时的速度大于7.9km/s

卫星在椭圆轨道Ⅰ上的P点处加速进入轨道Ⅱ

卫星在轨道Ⅱ运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度大

卫星在轨道Ⅱ运行时不受地球引力作用

题目答案

答案解析

分析：

北斗导航卫星为地球同步卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星，卫星距离地球的高度约为36000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速度约为3.1公里/秒，其运行角速度等于地球自转的角速度．

解答：

解：A、7.9km/s即第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度．而同步卫星的轨道半径要大于近地卫星的轨道半径，根据v的表达式可以发现同步卫星运行的线速度一定小于第一宇宙速度，故A错误；

B、卫星在椭圆轨道Ⅰ上的P点处加速使向心力等于提供的万有引力，做圆周运动进入轨道Ⅱ．故B正确

C、同步卫星的角速度与赤道上物体的角速度相等，根据a=rω_，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，故C正确；

D、北斗导航卫星绕地球做匀速圆周运动时所受重力作用提供向心力，处于失重状态，故D错误；

故选：BC．

点评：

本题考查了地球卫星轨道相关知识点，地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，圆心是地球的地心，万有引力提供向心力，轨道的中心一定是地球的球心；同步卫星有四个“定”：定轨道、定高度、定速度、定周期．本题难度不大，属于基础题．

7多选题

(多选)如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是(　　)

发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量无关

卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

题目答案

答案解析

分析：

月球在地月系中，绕月飞行没有脱离地球束缚，故发射速度小于第二宇宙速度，绕月飞行时万有引力提供圆周运动向心力，周期与环绕天体质量无关，万有引力与距离的二次方成反比，绕月飞行时向心力指向圆心．

解答：

解：A、绕月飞行仍在地球引力作用下运动，故卫星没有脱离地球束缚，其发射速度小于第二宇宙速度，故A错误；

B、根据万有引力提供圆周运动向心力G$\frac {mM}{r}$=mr($\frac {2π}{T}$)_知等式两边将消去卫星质量m，故其周期大小与卫星质量无关，所以B正确；

C、卫星受月球的引力为万有引力，根据万有引力定律知，其大小与卫星到月球中心距离的二次方成反比，故C正确．

D、卫星既受到地球的引力也受到月球的引力作用，其合力指向月球的中心，故卫星受到月球的引力大于受到地球的引力，故D错误．

故选：BC

点评：

本题抓住卫星绕月球运动时万有引力提供圆周运动向心力，知道对于球体万有引力的距离从球心算起，掌握规律是解决问题的关键．

8多选题

(多选)如图所示，是某次同步卫星发射过程的示意图，先将卫星送入一个近地圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆转移轨道，其中P是近地点，Q是远地点，在Q点再次点火加速进入同步轨道．设卫星在近地圆轨道的运行速率为v$_1$，加速度大小为a$_1$；在P点短时间点火加速之后，速率为v$_2$，加速度大小为a$_2$；沿转移轨道刚到达Q点速率为v$_3$，加速度大小为a$_3$；在Q点点火加速之后进入圆轨道，速率为v$_4$，加速度大小为a$_4$，则(　　)

v$_1$=v$_2$、a$_1$＜a$_2$

v$_1$＜v$_2$、a$_1$=a$_2$

v$_3$＜v$_4$、a$_3$=a$_4$

v$_3$＜v$_4$、a$_3$＜a$_4$

题目答案

答案解析

分析：

根据万有引力提供向心力，列方程可得到卫星速率与半径的关系来判断速率大小．由牛顿第二定律研究卫星在Q、P两点加速度大小．

解答：

解：A、卫星从近地圆轨道上的P点需加速，使得万有引力小于向心力，进入椭圆转移轨道．

所以在卫星在近地圆轨道上经过P点时的速度小于在椭圆转移轨道上经过P点的速度．v$_1$＜v$_2$，

根据牛顿第二定律得a=$\frac {GM}{r}$，在卫星在近地圆轨道上经过P点时的加速度等于在椭圆转移轨道上经过P点的加速度，故A错误，B正确

C、沿转移轨道刚到达Q点速率为v$_3$，加速度大小为a$_3$；在Q点点火加速之后进入圆轨道，速率为v$_4$，所以在卫星在转移轨道上经过Q点时的速度小于在圆轨道上经过Q点的速度，即v$_3$＜v$_4$，

根据牛顿第二定律得a=$\frac {GM}{r}$，在卫星在转移轨道上经过Q点时的加速度等于在椭圆转移轨道上经过Q点的加速度，故C正确，D错误

故选：BC．

点评：

卫星在不同轨道上运行时各个量的比较，往往根据万有引力等于向心力列出物理量与半径的关系，然后比较．

9多选题

(多选)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如右图所示．之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用T$_1$、T$_2$、T$_3$分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运动的周期，用a$_1$、a$_2$、a$_3$分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，v$_1$、v$_2$、v$_3$分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的速度，用F$_1$、F$_2$、F$_3$分别表示卫星沿三个轨道运动到P点时受到的万有引力，则下面关系式中不正确的是(　　)

a$_1$＜a$_2$＜a$_3$

v$_1$＜v$_2$＜v$_3$

T$_1$＞T$_2$＞T$_3$

F$_1$=F$_2$=F$_3$

题目答案

答案解析

分析：

根据开普勒第三定律的内容比较周期．研究“嫦娥二号”绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出加速度的表达式．

通过两个轨道的位置关系进行比较．根据同一点卫星所受万有引力相同，根据卫星运动特征比较速度大小问题．

解答：

解：A、卫星从Ⅰ轨道的P处制动后进入Ⅱ轨道，在Ⅱ轨道的P处再制动，最后进入Ⅲ轨道．

在不同轨道的P处，卫星受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知加速度相同，

所以a$_1$=a$_2$=a$_3$，F$_1$=F$_2$=F$_3$，故A错误，D正确；

B、卫星在轨道III上做匀圆周运动，在轨道Ⅰ、Ⅱ上经P点后做离心运动，

根据匀速圆周运动条件和离心运动条件可得，v$_1$＞v$_2$＞v$_3$，故B错误；

C、根据开普勒第三定律可知，卫星在不同轨道上绕月球运动时的周期的平方与轨道半长轴的三次方之比相同，

显然Ⅰ轨道的半长轴最大，Ⅲ轨道的半径最小，

所以T$_1$＞T$_2$＞T$_3$，故C正确；

本题选不正确的，故选：AB．

点评：

万有引力提供圆周运动向心力是解决本题的基本出发点，掌握匀速圆周运动的条件和离心运动的条件是解决本题的要素．

10单选题

“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P点又经过两次“刹车制动”，最后在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．对此，下列说法正确的是(　　)

由于“刹车制动”，卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道上Ⅰ长

虽然“刹车制动”，但卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道上Ⅰ短

卫星在轨道Ⅲ上运动的速度比沿轨道Ⅰ运动到P点(尚未制动)时的速度更接近月球的第一宇宙速度

卫星在轨道Ⅲ上运动的加速度小于沿轨道Ⅰ运动到P点(尚未制动)时的加速度

题目答案

答案解析

分析：

根据开普勒第三定律比较卫星在不同轨道上的周期大小．卫星在月球附近做匀速圆周运动的速度等于月球的第一宇宙速度，根据卫星所受的万有引力大小，通过牛顿第二定律比较加速度的大小．

解答：

解：A、卫星沿椭圆轨道运动时周期的平方与半长轴的立方成正比，圆形轨道可以看成是半长轴和半短轴相等的椭圆，故卫星在轨道Ⅲ上的周期比轨道Ⅰ上的周期短，故B正确，A错误．

C、卫星在月球附近做匀速圆周运动所具有的线速度称为月球的第一宇宙速度，故C项错误．

D、卫星沿轨道Ⅰ运动到P点尚未制动时所受月球的引力等于沿轨道Ⅲ运动时所受的引力故加速度相等，D项错误．

故选B．

点评：

解决本题的关键掌握开普勒第三定律$\frac {a}{T}$=K，以及理解第一宇宙速度的含义．

11多选题

(多选)2011年，我国计划在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”运载火箭将“神舟八号卫星”送入太空预定轨道．卫星的运动轨道为一椭圆，如图所示，地球的球心位于该椭圆的一个焦点上，A、B两点分别是卫星运行轨道上的近地点和远地点．若A点在地面附近，且卫星所受阻力可以忽略不计，则(　　)

运动到B点时其速率可能等于7.9km/s

运动到A点时其速率一定大于7.9km/s

若要卫星在B点所在的高度做匀速圆周运动，需在B点加速

若要卫星在B点所在的高度做匀速圆周运动，需在A点加速

题目答案

答案解析

分析：

由图看出，卫星做椭圆运动，其运动速度在第一、第二宇宙速度之间，可知A点的速率大于7.9km/s，B点的速率小于7.9km/s．若要卫星在B点所在的高度做匀速圆周运动，可在B点加速．

解答：

解：

A、卫星做椭圆运动，在远地点的速度比环绕速度要小，运动到B点时其速率小于7.9km/s．故A错误．

B、卫星做椭圆运动，在近地点(地球附近)的速度在第一、第二宇宙速度之间，A点的速度一定大于7.9km/s．故B正确．

C、若要卫星在B点所在的高度做匀速圆周运动，需在B点加速，使卫星做离心运动可以实现．故C正确．

D、若要卫星在B点所在的高度做匀速圆周运动，如在A点加速，卫星做半长轴更大的椭圆运动，不能在B点所在的高度做匀速圆周运动．故D错误．

故选BC

点评：

本题考查对宇宙速度的了解和卫星如何变轨的理解，可以根据离心运动知识理解卫星变轨的问题．

12多选题

(多选)如图所示，将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3，轨道1、2相切于Q，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)

卫星在轨道2上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过P点时的速度

卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度

卫星在轨道1上的向心加速度小于它在轨道3上的向心加速度

卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

题目答案

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分析：

根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度表达式进行讨论即可．

当万有引力刚好提供卫星所需向心力时卫星正好可以做匀速圆周运动

1．若是供大于需则卫星做逐渐靠近圆心的运动

2．若是供小于需则卫星做逐渐远离圆心的运动

解答：

解：A、因为卫星在轨道上飞行只受引力，根据机械能守恒条件知道，

卫星在椭圆轨道上飞行时机械能守恒，由于远地点P的势能大于近地点Q势能，所以远地点P的动能就小于近地点Q的动能．所以卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过P点时的速度，故A错误；

B、根据万有引力提供向心力列出等式：

$\frac {GMm}{r}$=ma

加速度a=$\frac {GM}{r}$

所以卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，故B正确；

C、向心加速度a=$\frac {GM}{r}$

所以卫星在轨道1上的向心加速度大于它在轨道3上的向心加速度．故C错误；

D、根据万有引力提供向心力列出等式：

$\frac {GMm}{r}$=mω_r

ω=$\sqrt {}$

所以卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度．故D正确；

故选：BD．

点评：

本题关键抓住万有引力提供向心力，先列式求解出线速度和角速度的表达式，再进行讨论．

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