《动量守恒定律解决递推问题》动量守恒定律解决递推问题 - 人教版高考物理复习物理知识点练习 - 读趣百科

《动量守恒定律解决递推问题》动量守恒定律解决递推问题

1单选题

为满足不同列车间车厢进行重新组合的需要，通常需要将相关的列车通过“驼峰”送入编组场后进行重组(如图所示)，重组后的车厢同一组的分布在同一轨道上，但需要挂接在一起．现有一列火车共有 n节车厢，需要在编好组的“驼峰”左侧逐一撞接在一起．已知各车厢之间间隙均为s_0，每节车厢的质量都相等，现有质量与车厢质量相等、且没有动力驱动的机车经过“驼峰”以速度v_0向第一节车厢运动，碰撞后通过“詹天佑挂钩”连接在一起，再共同去撞击第二节车厢，直到 n 节全部挂好．不计车厢在挂接中所受到的阻力及碰撞过程所需的时间，则机车带动第一节车厢完成整个撞接过程所经历的时间是(       )

A
$\frac {(n+2)(n-1)s}{2v}$
B
$\frac {(n+1)ns}{2v}$
C
$\frac {n(n-1)s}{2v}$
D
$\frac {(n+1)(n-1)s}{2v}$

题目答案

A

答案解析

分析：

根据动量守恒定律求出每次挂接后的速度，根据速度时间公式求出挂接后与下次挂接的时间，从而求解总时间．

解答：

解：与第1节车厢挂接时，根据动量守恒定律得：

mv_0=2mv$_1$

解得：v$_1$=$\frac {v}{2}$

则机车带动第一节车厢运动的时间t$_1$=$\frac {s}{v$_1$}$=$\frac {2s}{v}$，

同理与第2节车厢挂接时，根据动量守恒定律得：

2mv$_1$=3mv$_2$

解得：v$_2$=$\frac {v}{3}$

则机车带动第一、二节车厢运动的时间t$_2$=$\frac {s}{v$_2$}$=$\frac {3s}{v}$

…

同理可知机车带动n-1节车厢运动的时间为t_n-1=$\frac {s}{v_n-1}$=$\frac {ns}{v}$

则总时间t=t$_1$+t$_2$+…+t_n-1=$\frac {(2+3+4+…+n)s}{v}$=$\frac {(n+2)(n-1)s}{2v}$；故答案选A．

点评：

本题主要考查了动量守恒定律、动能定理的直接应用，知道当牵引力等于阻力时，速度最大，知道牵引力做的功可以根据W=Pt求解，难度适中．

纠错重做

2单选题

列车进入编组站后要重新编组，会出现列车挂接问题．将许多节车厢逐一组合起来的过实质上是一个完全弹性碰撞过程．一列火车共有n节车厢，各车厢之间的间隙相等，间隙长度的总和为S．第一节车厢以速度v向第二节车厢运动，碰撞后连接在一起以共同的速度向第三节车厢运动，碰撞后连接在一起以共同的速度向第四节车厢运动，…直到n节车厢全部挂好，则整个挂接过程所经历的时间为(      )

A
$\frac {nS}{$\sqrt {}$}$
B
$\frac {nS}{2v}$
C
$\frac {n(n-1)S}{2v}$
D
$\frac {(1-v_)S}{1-v}$

题目答案

B

答案解析

分析：

根据由n节车厢组成的系统，动量守恒列出等式求解．

解答：

解：相邻两车厢的间隙长度为：△S=$\frac {S}{n-1}$，

设车厢间发生第1、2、…、k次碰撞后连在一起的车厢速度分别为v$_1$、v$_2$、…、v_K，则有：

mv=2mv$_1$

mv=3mv$_2$

…

mv=(k+1)mv_k

解得：v$_1$=$\frac {1}{2}$v；v$_2$=$\frac {1}{3}$v；…、v_k=$\frac {1}{k+1}$v

所以整个挂接过程所用时间为：t=$\frac {△S}{v_}$+$\frac {△S}{v$_1$}$+…+$\frac {△S}{v_k}$

$\frac {△S}{v}$$\frac {S}{(n-1)v}$$\frac {1+(n-1)}{2}$$\frac {nS}{2v}$

点评：

本题以火车挂钩这一实际问题为情景，涉及碰撞过程中的动量守恒定律和匀速直线运动状态两个知识点，运算过程中渗透了数学归纳法．试题难度不算大，但能考查学生相应的物理能力．

纠错重做

3单选题

一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇．狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg．则狗最多能跳上雪橇的次数是(       )(供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477)

A
2
B
3
C
4
D
5

题目答案

B

答案解析

分析：

求狗最多能跳上的次数，需要知道每次狗跳下时雪橇的速度，故需要知道狗未跳下前狗和雪橇共同的速度，而要求狗未跳下前的速度，需知道狗跳上雪橇前雪橇的速度，即上一次狗跳下后雪橇的速度，所以可以分别求出第一次狗跳下后雪橇的速度，第一次狗跳上后的速度，再求出第二次狗跳下后雪橇的速度，第二次狗跳上后的速度，…，得出通项，从而解出答案．

解答：

解：设雪橇运动的方向为正方向．狗第1次跳下雪橇后雪橇相对地面的速度为V$_1$，则此时狗相对于地面的速度为(V+μ)，

由于雪橇和地面之间的摩擦忽略不计，故狗和雪橇组成的系统水平向动量守恒，

根据动量守恒定律，有MV$_1$+m(V$_1$+u)=0…①

设狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度为V$_1$’

由于此时狗和雪橇组成的系统水平向动量仍然守恒，则有 MV$_1$+mv=(M+m)V$_1$’…②

联立①②两式可得 $_1$=$\frac {-Mmu+(M+m)mv}{(M+m)}$…③

将u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入③式可得V$_1$’=2 m/s

解法(一)

设雪橇运动的方向为正方向．狗第(n-1)次跳下雪橇后雪橇的速度为v_n-1，则狗第(n-1)次跳上雪橇后的速度V_n-1’，

满足M V_n-1+mv=(M+m) V_n-1’…④

这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_n满足

M V_n+m(V_n+u)=(M+m) V_n-1’…⑤

解得 V_n=(v-u)[1-($\frac {M}{M+m}$)_]-$\frac {mu}{M+m}$($\frac {M}{M+m}$)_

狗追不上雪橇的条件是 v_n≥v

可化为 ($\frac {M}{M+m}$)_≤$\frac {(M+m)u}{Mu-(M+m)v}$

最后可求得 n≥1+$\frac {lg($\frac {Mu-(M+m)v}{(M+m)u}$)}{lg($\frac {M+m}{M}$)}$

代入数据，得n≥3.41

故狗最多能跳上雪橇3次．

解法(二)：

设雪橇运动的方向为正方向．狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_i′狗的速度为V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V_i′，由动量守恒定律可得

第一次跳下雪橇：MV$_1$+m(V$_1$+u)=0…④

V$_1$=-$\frac {mu}{M+m}$=1m/s

第一次跳上雪橇：MV$_1$+mv=(M+m)V$_1$’…⑤

$_1$=$\frac {-Mmu+(M+m)mv}{(M+m)}$

第二次跳下雪橇：(M+m)V$_1$’=MV$_2$+m(V$_2$+u)…⑥

V$_2$=$\frac {(M+m)$_1$-mu}{M+m}$=3m/s

第二次跳上雪橇：MV$_2$+mv=(M+m)V$_2$’…⑦

$_2$=$\frac {MV$_2$+mv}{M+m}$

第三次跳下雪橇：(M+m)V$_2$’=MV$_3$+m(V$_3$+u)…⑧

V$_3$=$\frac {(M+m)$_2$-mu}{M+m}$=4.5m/s

第三次跳上雪橇：(M+m)V$_3$=MV$_3$’+m(V$_3$’+u)…⑨

$_3$=$\frac {(M+m)V$_3$-mu}{M+m}$

第四次跳下雪橇：(M+m)V$_3$’=MV$_4$+m(V$_4$+u)…⑩

V$_4$=$\frac {(M+m)$_3$-mu}{M+m}$=5.625m/s

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇．

因此，狗最多能跳上雪橇3次．

点评：

本题难度较大，但有一个规律，即狗跳下后雪橇的速度是狗跳上雪橇前雪橇的速度，而狗第二次跳下的初速度是第一次跳上后

纠错重做

4填空题

如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n(n=1、2、3、…)．每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x＜0一侧每隔沙袋质量为m′=10kg，一质量为M=48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力．当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向，沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍(n是此人的序号数)．

(1)空车出发后，车上堆积了个沙袋时车就反向滑行．

(2)车上最终有大小沙袋共个．

填空题答案仅供参考

题目答案

311

答案解析

分析：

(1)采用虚设法依题意，空车出发后，车上堆积了几个沙袋时就反向滑行，然后由动量守恒定律即可求出；

(2)再设向x负方向运行时虚设一中间状态v=0，设抛n′个m′沙袋后车速为零，代入动量守恒定律的表达式即可求出．

解答：

解：(1)空车出发后，车上堆积了几个沙袋时就反向滑行，说明车的速度由向右变为向左，于是我们可虚设一个中间状态：v=0，设抛第n个沙袋前车的速度为v_n-1，则抛第n个沙袋的速度为2n•v_n-1，抛后小车速度为零，由动量守恒可得：

[M+(n-1)m]v_n-1-2nm•v_n-1=0

　　解得：n=$\frac {34}{14}$，因沙袋必须是整数，所以空车出发后堆积三个沙袋车就反向滑行．

　　(2)再设向x负方向运行时虚设一中间状态v=0，设抛n′个m′沙袋后车速为零，则由动量守恒定律得：[M+3m+(n′-1)m′]v_n′-2n′m′v_n-1=0

　　解得：n′=8，

故车上最终有大小沙袋：N=n+n′=3+8=11个．

答：(1)空车出发后，车上堆积了3个沙袋时车就反向滑行；

(2)车上最终有大小沙袋共11个．

点评：

本题的难点是选取研究对象并寻找反向的条件．车反向的条件是由速度大于零变到速度小于零，而在本题解的过程中，用“虚设法“虚设了临界状态速度等于零，抓住这一临界状态并合理选取研究对象；把车和(n-1)个扔到车上的沙袋及第n个要扔到车上的沙袋作为一个系统，是正确解答该类运动方向发生变化问题的关键．本题也可不设速度为零的临界状态，而用V_n-1＞0和v_n＜0讨论分析．

纠错重做