《圆锥摆的周期》圆锥摆的周期

1单选题

如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)

A的速度比B的大

A与B的向心加速度大小相等

悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

题目答案

答案解析

分析：

AB两个座椅具有相同的角速度，分别代入速度、加速度、向心力的表达式，即可求解．

解答：

解：AB两个座椅具有相同的角速度．

A：根据公式：v=ω•r，A的运动半径小，A的速度就小．故A错误；

B：根据公式：a=ω_r，A的运动半径小，A的向心加速度就小，故B错误；

C：如图，对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ=mω_r，则得tanθ=$\frac {ω_r}{g}$，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故C错误．

D：A的向心加速度就小，A的向心力就小，A对缆绳的拉力就小，故C错误；D正确．

故选：D

点评：

该题中，AB的角速度相等而半径不相等是解题的关键．属于简单题．

2单选题

如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动则(　　)

球A的角速度一定大于球B的角速度

球A的线速度一定大于球B的线速度

球A的运动周期一定小于球B的运动周期

球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力

题目答案

答案解析

分析：

对小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答：

解：A、对小球受力分析，受重力和支持力，如图

根据牛顿第二定律，有

F=mgtanθ=m$\frac {v}{r}$解得

v=$\sqrt {grtanθ}$

由于A球的转动半径较大，故线速度较大，

ω=$\frac {v}{r}$=$\frac {$\sqrt {grtanθ}$}{r}$，由于A球的转动半径较大，故角速度较小，故A错误，B正确；

C、T=$\frac {2π}{ω}$，A的角速度小，所以周期大，故C错误；

D、由A选项的分析可知，压力等于$\frac {mg}{cosθ}$，与转动半径无关，故D错误；

故选B．

点评：

本题关键是对小球受力分析，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解分析．

3单选题

如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)

A 与 B 的线速度大小相等

A 与 B 的角速度相等

A 与 B 的向心加速度大小相等

悬挂A、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等

题目答案

答案解析

分析：

A、B两个座椅具有相同的角速度，分别代入速度、加速度、向心力的表达式，即可求解．

解答：

解：A、B．A、B两个座椅具有相同的角速度根据公式：v=ω•r，A的运动半径小，A的速度就小．故A错误，B正确；

C．根据公式：a=ω_r，A的运动半径小，A的向心加速度就小，故C错误；

D．如图，对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ=mω_r，则得tanθ=$\frac {rω}{g}$，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故D错误．

故选：B．

点评：

解决本题的关键知道A、B的角速度大小相等，知道线速度、角速度、向心加速度、向心力之间的关系，并能灵活运用．

4多选题

(多选)如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)

球所受的合外力大小为mω_R

球所受的合外力大小为m$\sqrt {}$

球对杆作用力的大小为m$\sqrt {}$

题目答案

答案解析

分析：

小球受到重力和杆子的作用力，两个力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力．根据力的合成，求出球对杆子的作用力大小．

解答：

解：A、B、小球所受合力提供匀速圆周运动的向心力，即F_合=mRω_．故A正确，B错误．

C、D、小球受重力和杆子对它的作用力F，根据力的合成有：F_-(mg)_=(F_合)_，所以F=m$\sqrt {}$．故C错误，D正确．

故选AD．

点评：

决本题的关键知道小球匀速圆周运动的向心力由重力和杆子对它作用力的合力提供．根据向心力求出合力，根据力的合成求出杆子的作用力．

5多选题

(多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在离地面某一高度的同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的(　　)

周期相同

线速度的大小相等

角速度的大小相等

向心加速度的大小相等

题目答案

答案解析

分析：

两个小球均做匀速圆周运动，对它们受力分析，找出向心力来源，可先求出角速度，再由角速度与线速度、周期、向心加速度的关系公式求解！

解答：

解：A、C、对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；

将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：

F=mgtanθ ①

由向心力公式得到：

F=mω_r ②

设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：

r=htanθ ③

由①②③三式得：

ω=$\sqrt {}$，与绳子的长度和转动半径无关，故C正确；

又由T=$\frac {2π}{ω}$=2π$\sqrt {}$，周期与绳子长度无关，故A正确；

B、由v=ωr，两球转动半径不等，所以线速度不等，故B错误；

D、由a=ω_r，两球转动半径不等，所以向心加速度不等，故D错误；

故选：AC．

点评：

本题关键要对球受力分析，找向心力来源，求角速度；同时要灵活应用角速度与线速度、周期、向心加速度之间的关系公式！

6单选题

如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量不同的小球A和小球B，紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是(　　)

A球的线速度必定大于B球的线速度

A球的向心加速度必定大于B球的向心加速度

A球的运动周期必定小于B球的运动周期

A球对筒壁的压力必定小于B球对筒壁的压力

题目答案

答案解析

分析：

小球受重力和支持力，靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，根据F_合=ma=m$\frac {v}{r}$比较线速度、角速度、向心加速度等．

解答：

解：对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图

根据牛顿第二定律，有：F_合=mgtanθ，由于质量不等，所以不好判断哪个球对筒壁的压力大，故D错误．

A、两小球所受合力提供圆周运动向心力有mgtanθ=m$\frac {v}{r}$知，轨道半径大的线速度大，所以球A的线速度大于球B的线速度，故A正确；

B、根据mgtanθ=ma可知，a=gtanθ，相等，故B错误；

C、两小球所受合力提供圆周运动向心力有mgtanθ=m$\frac {4π_r}{T}$知，轨道半径大的周期大，所以A的周期大于B的周期，故C错误．

故选：A．

点评：

解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力．会通过F_合=ma=m$\frac {v}{r}$=mω_r比较线速度、角速度、向心加速度的大小．

7多选题

(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A的运动半径较大，则(　　)

A球的角速度必小于B球的角速度

A球的线速度必小于B球的线速度

A球运动的周期必大于B球运动的周期

A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力

题目答案

答案解析

分析：

对小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答：

解：以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示：

由牛顿第二定律得：mgtanθ=m$\frac {v}{r}$

解得：v=$\sqrt {grtanθ}$，则ω=$\frac {v}{r}$=$\sqrt {}$，T=$\frac {2π}{ω}$=2π$\sqrt {}$，

由图示可知，对于AB两个球来说，重力加速度g与角θ相同，

A、A的转动半径大，B的半径小，因此，A的角速度小于B的角速度，故A正确；

B、A的线速度大于B的线速度，故B错误；

C、A的周期大于B的周期，故C正确；

D、由受力分析图可知，球受到的支持力F_N=$\frac {mg}{sinθ}$，由于两球的质量m与角度θ相同，则桶壁对AB两球的支持力相等，由牛顿第三定律可知，两球对桶壁的压力相等，故D错误；

故选：AC．

点评：

本题关键是对小球受力分析，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解分析．

8多选题

(多选)两个质量不同的小球，被长度不等的细线悬挂在同一点，并在同一水平面内作匀速圆周运动，如图所示．则两个小球的(　　)

运动周期相等

运动线速度相等

运动角速度相等

向心加速度相等

题目答案

答案解析

分析：

两个小球均做匀速圆周运动，对它们受力分析，找出向心力来源，可先求出角速度，再由角速度与线速度、周期、向心加速度的关系公式求解！

解答：

解：对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；

将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：F=mgtanθ ①；

由向心力公式得到，F=mω_r ②；

设球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r=htanθ ③；

由①②③三式得，ω=$\sqrt {}$，与绳子的长度和转动半径无关，故C正确；

又由T=$\frac {2π}{ω}$，故A正确；

由v=wr，两球转动半径不等，故B错误；

由a=ω_r，两球转动半径不等，故D错误；

故选A、C．

点评：

本题关键要对球受力分析，找向心力来源，求角速度；同时要灵活应用角速度与线速度、周期、向心加速度之间的关系公式！

9单选题

如图所示的装置中，两球的质量都为m，且绕竖直轴做同样的圆锥摆运动，木块的质量为2m，则木块的运动情况是(　　)

静止不动

向下运动

向上运动

上下振动

题目答案

答案解析

分析：

设绳子与圆平面夹角为α，求出两个球对绳子的拉力，再求出绳子的合力，综合应用圆周运动和力的平衡知识分析即可求解．

解答：

解：设绳子与圆平面夹角为α，则Tsinα=mg，所以右边两个绳子在在竖直方向的合力为2Tsinα=2mg，所以左边的绳子受到向上的拉力为2mg，对木块进行受力分析，受到绳子的拉力和重力，都为2mg，受力平衡，所以木块静止不动，故A正确．

故选A

点评：

本题主要考查了圆周运动和力的平衡知识的直接原因，要求同学们能正确对物体进行受力分析，难度适中．

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