《一般的曲线运动》一般的曲线运动

1单选题

一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图(a)所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度υ_0抛出，如图(b)所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　　)

$\frac {v}{g}$

$\frac {v_0_sin_α}{g}$

$\frac {v_0_cos_α}{g}$

$\frac {v_0_cos_α}{gsinα}$

题目答案

答案解析

分析：

由题目的介绍可知，求曲率半径也就是求在该点做圆周运动的半径，利用向心力的公式就可以求得．

解答：

解：物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v_0cosα，

在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，

由向心力的公式得 mg=m$\frac {(v_0cosα)}{ρ}$，

所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是ρ=$\frac {v_0_cos_α}{g}$，故C正确．

故选：C．

点评：

曲率半径，一个新的概念，平时不熟悉，但根据题目的介绍可知，求曲率半径也就是求在该点做圆周运动的半径，读懂题目的真正意图，本题就可以解出了．

2单选题

若物体以速度v进入某空间后，受到一个逐渐减小的合外力的作用，且该合外力的方向始终是垂直于该物体的速度方向，则物体的运动将是（　　）

速率增大，曲率半径也随之增

速率不变，曲率半径逐渐增大

速率逐渐减小，曲率半径不变

速率不变，曲率半径逐渐减小

题目答案

答案解析

分析：

合外力的方向始终是垂直于该物体的速度方向，提供向心力，根据圆周运动的向心力公式列式分析即可．

解答：

解：合外力的方向始终是垂直于该物体的速度方向，故合力始终不做功，根据动能定理，动能不变；

合外力提供向心力，根据向心力公式：F_n=m$\frac {v}{r}$，物体运动轨迹的曲率半径r不断增加；

故选B．

点评：

本题关键明确一般曲线运动可以分割成无数小段，每一小段近似看作圆周，然后根据向心力公式和动能定理列式分析．

3单选题

一辆载重汽车在丘陵山地上匀速行驶，地形如图．由于车轮太陈旧，途中“放炮”．你认为在途中A、B、C、D四处中，放炮的可能性最大的是(　　)

A处

B处

C处

D处

题目答案

答案解析

分析：

汽车在丘陵山地做圆周运动，靠径向的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出何处支持力最大，何处放炮的可能性最大．

解答：

解：在最高点有：mg-N=m$\frac {v}{r}$，解得N=mg-m$\frac {v}{r}$＜mg．在最低点，有：N-mg=m$\frac {v}{r}$，解得N=mg+m$\frac {v}{r}$＞mg．知C处支持力最大，则C处最可能放炮．故C正确，A、B、D错误．

故选：C．

点评：

解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行分析．

4多选题

(多选)若物体以速度v进入某空间后，受到一个逐渐减小的合外力的作用，且该合外力的方向始终是垂直于该物体的速度方向，则物体的运动将是（　　）

速率保持不变

速率逐渐减小

曲率半径逐渐增大

曲率半径逐渐减小

题目答案

答案解析

分析：

合外力的方向始终是垂直于该物体的速度方向，提供向心力，根据圆周运动的向心力公式列式分析即可．

解答：

解：A、B、合外力的方向始终是垂直于该物体的速度方向，故合力始终不做功，根据动能定理，动能不变，则速率不变；故A正确，B错误；

C、D、合外力提供向心力，根据向心力公式：F_n=$\frac {mv}{r}$向心力的大小不变，速度的大小不变，所以物体运动轨迹的曲率半径r不断增加．故C正确，D错误．

故选：AC

点评：

本题关键明确一般曲线运动可以分割成无数小段，每一小段近似看作圆周，然后根据向心力公式和动能定理列式分析．

5单选题

如图所示，两个物体以相同大小的初始速度从空中O点同时分别向x轴正负方向水平抛出，它们的轨迹恰好是抛物线方程y=$\frac {1}{k}$x_，重力加速度为g，那么以下说法正确的是(曲率半径可认为等于曲线上该点的瞬时速度所对应的匀速率圆周运动的半径)(　　)

初始速度为$\sqrt {2kg}$

初始速度为$\sqrt {kg}$

O点的曲率半径为$\frac {k}{2}$

O点的曲率半径为2k

题目答案

答案解析

分析：

据题两球均做平抛运动，水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向上的分运动是自由落体运动，得到水平位移大小x和竖直位移大小y与时间的关系，代入抛物线方程，即可求得初速度；根据数学知识求解O点的曲率半径．

解答：

解：A、设小球平抛运动的时间为t，则有：

x=v_0t，y=$\frac {1}{2}$gt_，代入到抛物线方程 y=$\frac {1}{k}$x_，解得初速度为：v_0=$\sqrt {}$，故A、B错误．

C、抛物线方程y=$\frac {1}{k}$x_求导得：y′=$\frac {2}{k}$x=k′x．

根据数学知识得知，O点的曲率半径为：R=$\frac {1}{k′}$=$\frac {k}{2}$，故C正确，D错误．

故选：C．

点评：

本题运用数学上参数方程的方法求解初速度，关键是抓住平抛运动的分解方法．根据曲率半径的定义，由数学知识求解．

6单选题

曲线上某一点的曲率圆定义为：通过某点和曲线上紧邻该点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做该点的曲率圆，其半径ρ叫做该点的曲率半径，现有一小球的质量为0.1kg，从5m高处以初速度5m/s做平抛运动，抛出后0.5s时刻的运动位置的曲率圆半径为(g=10m/s_)（　　）

5$\sqrt {2}$m

10m

10$\sqrt {2}$m

题目答案

答案解析

分析：

根据速度时间公式求出竖直分速度，结合平行四边形定则求出0.5s时的速度，结合加速度的大小求出曲率半径．

解答：

解：0.5s时竖直分速度v_y=gt=10×0.5m/s=5m/s，根据平行四边形定则知，物体的速度v=$\sqrt {}$=$\sqrt {25+25}$m/s=5$\sqrt {2}$m/s，

重力的分力提供向心力，所以a=gcos45°=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$g，根据公式a=$\frac {v}{R}$可知，曲率半径R=$\frac {$\sqrt {2}$v}{g}$=5$\sqrt {2}$m．

故选：B．

点评：

解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，基础题．

7单选题

如图所示，一个质量为m的物体以某一初速度从空中O点向x轴正方向水平抛出，它的轨迹方程为y=kx_，重力加速度为g．那么以下说法正确的是(　　)

初速度大小为$\sqrt {}$

比值$\frac {y}{x}$与t _成正比

运动过程中重力做功的表达式为W=$\frac {mgx}{k}$

O点的曲率半径为2k

题目答案

答案解析

分析：

平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，结合平抛运动的规律求出y与x的关系式，从而进行求解．

解答：

解：A、根据x=v_0t得，t=$\frac {x}{v}$，则y=$\frac {1}{2}$gt_=$\frac {gx}{2}$

由题，y=kx_，则k=$\frac {g}{2}$，可以求出平抛运动的初速度为 v_0=$\sqrt {}$，故A正确

B、比值$\frac {y}{x}$=kx=$\frac {g}{2}$•v_0t=$\frac {g}{2v}$t∝t，故B错误．

C、重力做功的公式为：W=mgy=mgkx_，故C错误

D、抛物线方程y=kx_求导得，y′=2kx，根据数学知识，O点的曲率半径为r=$\frac {1}{2k}$．故D错误．

故选：A．

点评：

解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解．

8多选题

(多选)如图所示，物体以一定的初速度从O点向x轴正方向水平抛出，它的轨迹恰好满足抛物线方程y=0.2x_(x≥0，单位为m)，已知重力加速度为g=10m/s_，空气阻力不计，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，圆半径即为曲率半径．那么以下说法正确的是(　　)

物体被抛出时的初速度为5m/s

物体被抛出时的初速度为2m/s

O点的曲率半径为2.5m

O点的曲率半径为0.5m

题目答案

答案解析

分析：

平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，竖直方向上的分运动是自由落体运动，根据竖直位移和水平位移与时间的关系得出y与x的方程，即可求得初速度；根据数学知识求解O点的曲率半径．

解答：

解：根据x=v_0t，y=$\frac {1}{2}$gt_得，y=$\frac {g}{2v_0}$x_，因为y=0.2x_，知$\frac {g}{2v_0}$=0.2，解得初速度v_0=5m/s，故A错误，B正确．

C、抛物线方程y=0.2x_求导得，y′=0.4x，根据数学知识，O点的曲率半径为r=$\frac {1}{0.4}$m=2.5m，故C正确，D错误．

故选：AC．

点评：

本题运用数学上参数方程的方法求解初速度，关键是抓住平抛运动的分解方法．根据曲率半径的定义，由数学知识求解．

9多选题

(多选)当运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动时，可称为一般的曲线运动．尽管这时曲线运动各个位置的弯曲程度不一样，但我们可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动可以看做圆周运动的一部分，如图甲所示．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v_0抛出(不计空气阻力)，如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

最高点的速度方向水平向右

最高点的加速度大于重力加速度g

最高点的速度大小为vsinα

最高点的曲率半径是$\frac {v_0_cos_α}{g}$

题目答案

答案解析

分析：

根据平行四边形定则求出最高点的速度，抓住最高点的加速度为g，根据向心加速度的公式求出最高点的曲率半径．

解答：

解：A、物体运动到最高点，竖直分速度为零，根据平行四边形定则知，最高点的速度v$_1$=v_0cosα，方向水平向右．故A正确，C错误．

B、最高点的加速度等于重力加速度g．故B错误．

D、根据a=g=$\frac {v$_1$}{r}$知，最高点的曲率半径r=$\frac {v$_1$}{g}$=$\frac {v_0_cos_α}{g}$．故D正确．

故选：AD．

点评：

解决本题的关键知道速度是矢量，合成分解遵循平行四边形定则，知道曲率半径与向心加速度和速度的关系．

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