《硬杆连接小球在竖直面内做匀速圆周运动》硬杆连接小球在竖直面内做匀速圆周运动

1多选题

(多选)如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动．现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对小球的作用力可能是(　　)

a处为拉力，b处为拉力

a处为拉力，b处为推力

a处为推力，b处为拉力

a处为推力，b处为推力

题目答案

答案解析

分析：

小球做匀速匀速圆周运动，在最高点速度可以为零，在最高点和最低点重力和弹力的合力提供向心力，指向圆心，可以判断杆的弹力的方向．

解答：

解：小球做圆周运动，合力提供向心力；

在最高点受重力和杆的弹力，假设弹力向下，如图

根据牛顿第二定律得到，F$_1$+mg=m$\frac {$_1$}{r}$；

当F$_1$＜0，为支持力，向上；

当F$_1$＞0，为拉力，向下；

当F$_1$=0，无弹力；

球经过最低点时，受重力和杆的弹力，如图

由于合力提供向心力，即合力向上，故杆只能为向上的拉力；

故选A、B．

点评：

要注意杆与绳子的区别，杆可以是支持力，可以是拉力，而绳子只能为拉力！

2单选题

如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角是(　　)

sinθ=$\frac {ω_L}{g}$

tanθ=$\frac {ω_L}{g}$

sinθ=$\frac {g}{ω_L}$

tanθ=$\frac {g}{ω_L}$

题目答案

答案解析

分析：

小球做匀速圆周运动，靠合力提供向心力，根据重力、杆子的作用力的合力指向圆心，求出杆与水平面的夹角．

解答：

解：小球所受重力和杆子的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：mgsinθ=mLω_，解得sinθ=$\frac {ω_L}{g}$．故A正确，B、C、D错误．

故选A．

点评：

解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．

3单选题

如图所示，轻杆长为L一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球(可视为质点)．小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度．下列说法正确的是(　　)

小球通过最高点时速度不可能小于$\sqrt {gL}$

小球通过最高点时所受轻杆的作用力可能为零

小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而增大

小球通过最高点时所受轻杆的作用力随小球速度的增大而减小

题目答案

答案解析

分析：

轻杆在最高点可以表现为拉力，也可以表现为支持力，临界的速度为0，根据牛顿第二定律判断轻杆对小球的弹力随速度变化的关系．

解答：

解：A、小球在最高点的最小速度可以为零，此时重力等于轻杆的支持力．故A错误．

B、当小球速度为$\sqrt {gL}$时，重力提供向心力，杆作用力为零，故B正确

C、轻杆在最高点可以表现为拉力，也可以表现为支持力，当表现为支持力时，速度增大作用力越小，故C错误

D、轻杆在最高点可以表现为拉力，也可以表现支持力，当表现为拉力时，速度增大作用力越大，故D错误

故选B

点评：

解决本题的关键搞清小球向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解，以及知道轻杆可以表现为拉力，也可以表现为支持力

4多选题

(多选)如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点时的速度v，下列叙述正确的是(　　)

v的最小值为$\sqrt {gl}$

v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大

v由$\sqrt {gl}$值逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大

v由$\sqrt {gl}$值逐渐减小，杆对小球的弹力也逐渐减小

题目答案

答案解析

分析：

细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，靠径向的合力提供向心力，杆子可以表现为支持力，也可以表现为拉力，根据牛顿第二定律判断杆子的作用力和速度的关系．

解答：

解：A、细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零．故A错误．

B、根据F_向=m$\frac {v}{R}$知，速度增大，向心力增大．故B正确．

C、当v=$\sqrt {gl}$时，杆子的作用力为零，当v＞$\sqrt {gl}$时，杆子表现为拉力，速度增大，拉力增大．故C正确．

D、当v＜$\sqrt {gl}$时，杆子表现为支持力，速度减小，支持力增大．故D错误．

故选BC．

点评：

解决本题的关键知道小球在最高点的临界情况，知道向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．

5多选题

(多选)如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v_0下列说法中正确的是(　　)

v_0的最小值为 $\sqrt {gR}$

v_0的最小值为0

当v_0由$\sqrt {gR}$值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大

当v_0由$\sqrt {gR}$值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小

题目答案

答案解析

分析：

由于杆子能支撑小球，小球到达最高点的临界速度为零．杆子在最高点可以表现为拉力，也可以表现为支持力，根据牛顿第二定律判断杆子对小球的弹力随速度变化的关系．

解答：

解：A、由于杆子能支撑小球，小球在最高点的最小速度为零．故A错误，B正确．

C、在最高点，若速度v_0=$\sqrt {gR}$，杆子的作用力为零．当v_0＞$\sqrt {gR}$时，杆子表现为拉力，设拉力大小为F．根据牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac {}{R}$，得：F=m$\frac {}{R}$-mg

可知，速度逐渐增大时，向心力增大，杆子对小球的拉力增大．故C正确．

D、当v_0＞$\sqrt {gR}$时，杆子表现为支持力，根据牛顿第二定律得：mg-F=m$\frac {}{R}$，得：F=mg-m$\frac {}{R}$

可知，速度逐渐减小时，向心力减小，则杆子对小球的支持力增大．故D错误．

故选：BC．

点评：

解决本题的关键搞清小球向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解，以及知道杆子可以表现为拉力，也可以表现为支持力．要注意杆子模型与绳子模型最高点的临界速度不同．

6单选题

长度为L=0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m=3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为2.0m/s，不计空气阻力，g取10m/s_，则此时细杆OA受到(　　)

6.0N的拉力

6.0N的压力

24N的拉力

24N的压力

题目答案

答案解析

分析：

小球在细杆的作用下，在竖直平面内做圆周运动．对最高点受力分析，找出提供向心力的来源，结合已知量可求出最高点小球速率为2m/s时的细杆受到的力．

解答：

解：小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，

当在最高点小球与细杆无弹力作用时，小球的速度为v$_1$，则有

mg=m$\frac {v$_1$}{L}$

得：v$_1$=$\sqrt {gL}$=$\sqrt {5}$m/s

∵$\sqrt {5}$＞2m/s∴小球受到细杆的支持力

小球在O点受力分析：重力与支持力

mg-F_支=m$\frac {v$_2$}{L}$

则F_支=mg-m$\frac {v$_2$}{L}$=6N

所以细杆受到的压力，大小为6N．

故选B．

点评：

小球在杆的作用下做圆周运动，在最高点杆给球的作用是由小球的速度确定．因从球不受杆作用时的速度突破，比较两者的速度大小，从而确定杆给球的作用力．同时应用了牛顿第二、三定律．当然还可以假设杆给球的作用力，利用牛顿第二定律列式求解，当求出力是负值时，则说明假设的力与实际的力是方向相反．

7多选题

(多选)如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑水平转动轴上，杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，且杆对球A、B的最大约束力相同，则(　　)

B球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道

若B球在最低点和杆作用力为3mg，则A球在最高点受杆的拉力

若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等，则A球受杆的支持力、B球受杆的拉力

若每一周做匀速圆周运动的角速度都增大、则同一周B球在最高点受杆的力一定大于A球在最高点受杆的力

题目答案

答案解析

分析：

当物体所受的外力相等时，所需要的向心力越大，越容易产生离心现象；两球做圆周运动，由重力和杆的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式分析．在最高点，杆对球可能是支持力，也可能是拉力．

解答：

解：

A、两球的角速度相同，由向心力公式F_n=mω_r，由于B的半径较大，所需要的向心力较大，而由题意：两球的重力相等，杆对两球的最大拉力相等时，在最低点时，两球的最大合外力相等，所以B球更容易做离心运动，更容易脱离轨道．故A正确．

B、若B球在最低点和杆作用力为3mg，设B球的速度为v_B．

则根据牛顿第二定律得：N_B-mg=m$\frac {_B}{2L}$，且N_B=3mg，得：v_B=2$\sqrt {gL}$；

由v=ωr，ω相等，A的半径是B的一半，则得此时A的速度为 v_A=$\frac {1}{2}$v_B=$\sqrt {gL}$

对A球：设杆的作用力大小为N_A，方向向下，则有：mg+N_A=m$\frac {_A}{L}$，解得N_A=0，说明杆对A球没有作用力，故B错误．

C、若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等，设为F．

假设在最高点杆对A、B球产生的都是支持力，有：

对B球：mg-F=mω_•2L，；

对A球：mg-F=mω_L；

很显然上述两个方程不可能同时成立，说明假设不成立，则知两球所受的杆的作用力不可能同时是支持力．

对B球，若杆对B球产生的是拉力，有：mg+F=mω_•2L，；

对A球，若杆对A球产生的是拉力，有：F+mg=mω_L；

两个方程不可能同时成立，所以不可能两球同时受杆的是拉力；

对B球，若杆对B球产生的是拉力，有：mg+F=mω_•2L，；

对A球，若杆对A球产生的是支持力，有：F-mg=mω_L；

两个方程能同时成立，所以可能A球受杆的是支持力、B球受杆的是拉力；

对B球，若杆对B球产生的是支持力，有：mg-F=mω_•2L，；

对A球，若杆对A球产生的是拉力，有：F+mg=mω_L；

两个方程不能同时成立，所以不可能A球受杆的是拉力，而B球受杆的是支持力；

综上，A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等时，A球受杆的是支持力、B球受杆的是拉力．故C正确．

D、若两球最高点所受的杆的作用力都是支持力，

则对B球，若杆对B球产生的是支持力，有：mg-F_B=mω_•2L，得F_B=mg-2mω_L；

对A球，若杆对A球产生的是支持力，有：mg-F_A=mω_L，得F_A=mg-mω_L

由上两式得：每一周做匀速圆周运动的角速度都增大，F_A＞F_B，故D错误．

故选：AC

点评：

解答竖直平面内的圆周运动问题，关键分析向心力的来源，把握住的临界条件，有时要结合机械能守恒定律研究．

8多选题

(多选)如图所示，A是用轻绳连接的小球，B是用轻杆连接的小球，都在竖直平面内作圆周运动，且绳、杆长度L相等．忽略空气阻力，下面说法中正确的是(　　)

A球可能作匀速圆周运动

A球通过圆周最高点最小速度是$\sqrt {gL}$，而B球过圆周最高点的速度最小可为零

对B球来说，到最低点时处于超重状态，杆对球的作用力最大

A球在运动过程中所受的合外力的方向处处指向圆心

题目答案

答案解析

分析：

本题中绳系小球A的机械能守恒，做变速圆周运动，合外力方向不一定指向圆心，到最高点时绳子拉力恰好为零时，速度最小，根据牛顿第二定律求解最小速度．B球到达最高点时最小速度为零．根据加速度方向判断B球的状态，确定杆的作用力方向．

解答：

解：

A、A球运动过程中，绳子的拉力不做功，机械能守恒，小球的重力势能不断变化，动能就不断变化，速率不断变化，一定做变速圆周运动，故A错误．

B、当A球恰好通过最高点时，绳子的拉力为零，由重力提供向心力，此时速度最小，设为v_min．根据牛顿第二定律得：mg=m$\frac {_min}{L}$，得；v_min=$\sqrt {gL}$；

对于B球，由于杆子对小球能有支撑作用，所以B球过圆周最高点的速度最小可为零，故B正确．

C、对B球来说，到最低点时加速度方向向上，根据牛顿运动定律得知，杆对球的作用力大于重力，B球处于超重状态．

根据牛顿第二定律得：T-mg=m$\frac {v}{L}$，T=mg+m$\frac {v}{L}$，v最大，T最大，故C正确．

D、A球在运动过程中受到重力和绳子拉力两个作用，根据平行四边形定则可知，A所受的合外力的方向不是处处指向圆心，只有在最高点和最低点两个位置指向圆心，故D错误．

故选：BC

点评：

解决本题的关键知道向心力靠指向圆心的合力来提供，明确绳系模型和轻杆模型最高点的临界条件，根据牛顿第二定律能得到最小速度．

9多选题

(多选)如图，一长为l的轻质细杆一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点转动，现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为g(g为当地的重力加速度)，下列说法正确的是(　　)

小球的线速度大小为$\sqrt {gl}$

小球运动到最高点时处于完全失重状态

当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球作用力方向不可能指向圆心O

轻杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为mg

题目答案

ABC

答案解析

分析：

根据a=$\frac {v}{r}$求解线速度，小球在最高点的加速度为g，处于完全失重状态，匀速圆周运动合外力提供向心力，在最低点对小球的作用力最大，根据向心力公式列式即可求解最大值，

解答：

解：A、根据a=$\frac {v}{r}$=g得：v=$\sqrt {gl}$，故A正确；

B、小球做匀速圆周运动，加速度为g，所以小球在最高点的加速度为g，处于完全失重状态，故B正确；

C、当轻杆转到水平位置(图中虚线bob′)时，杆子和重力的合力指向圆心，重力方向竖直向下，若轻杆对小球的作用力方向指向圆心O，则合力不能指向圆心，故C正确；

D、在最低点杆子对小球的作用力最大，即F-mg=ma，解得F=2mg，故D错误．

故选：ABC．

点评：

本题主要考查了向心力公式的直接应用，知道匀速圆周运动合外力提供向心力，物体的加速度为g时处于完全失重状态，难度不大，属于基础题．

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