《变力做功问题》变力做功问题

1单选题

如图所示，物体A和B的质量均为m，且分别与轻绳连接跨过定滑轮，现用力拉物体B使它沿水平面向右做匀速运动，物体B从C点运动到D点拉力做功为W$_1$，从D点运动到E点拉力做功为W$_2$，且CD的距离与DE的距离相等，在此过程中，绳子对A的拉力大小为F_T，则(　　)

W$_1$＜W$_2$，F_T＞mg

W$_1$＜W$_2$，F_T＜mg

W$_1$＞W$_2$，F_T=mg

W$_1$=W$_2$，F_T＞mg

题目答案

答案解析

分析：

由于B做匀速运动，将B的运动分解为沿绳子方向的运动，以及垂直绳子方向运动即绕滑轮的转动，得到沿绳子方向的运动速度，即物体A的速度表达式，得到A的运动规律，再根据牛顿第二定律判断绳子拉力的变化情况．

根据“极限、函数的单调性”求解．

解答：

解：将B的运动分解为沿绳子方向的运动，以及垂直绳子方向运动即绕滑轮的转动，如图

解得：v_A=v_Bcosα，α减小，则v_A逐渐增大，说明A物体在竖直向上做加速运动，

由牛顿第二定律F_T-mg=ma，

可知绳子对A的拉力F_T＞mg，

物体B的速度V_B恒定，前后过程中物体B位移恒定(用S_B表示)．

我们假定物体B匀速运动的速度趋于零，那么根据极限的概念，在C→D→E的过程中，时间趋于无穷大．

这样的假定并不违反试题表述的物理过程．　　

即：V_B→0，则：t$_1$→∞、t$_2$→∞．进一步推导得到：物体A的加速度a_A→0，绳子拉力F_T→mg．

　　对物体B受力平衡分析可得：F→F_Tcosα，

在0≤α≤90度域内，函数cosα随α增大而减小．

　　根据试题表述的物理过程，在C→D→E的过程中，α递减，则F递增．

那么拉力F的平均作用力在C→D过程小于在D→E过程．

　　由此，根据功的定义式：W=FS，

可知：W$_1$＜W$_2$．

故选A．

点评：

本题关键是正确地找出物体B的合运动与分运动，然后根据运动分解的平行四边形定则，得到物体A速度的一般表达式，得出物体A处于超重状态，从而得到拉力大于重力．

2多选题

(多选)如图所示，某人通过一定滑轮吊起质量为m的物体，开始时绳子与水平方向的夹角为60°，当人将重物匀速提起，人由A点水平方向运动x_AB=l到B点时，绳与水平方向成30°，在这一过程中，下列说法正确的是：(重力加速度为g)(　　)

人对绳的拉力做功mgl

人对绳的拉力做功($\sqrt {3}$-1)mgl

人沿水平方向也应作匀速直线运动

人沿水平方向运动的速度越来越小

题目答案

答案解析

分析：

根据功能关系，人做的功等于系统机械能的增加量；将人的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向正交分解，沿着绳子方向的分速度等于重物的速度．

解答：

解：A、B、设A点与滑轮的悬挂点的高度差为h，根据几何关系，AB间距为：

l=htan60°-htan30° ①

重物上升的高度为：

H=$\frac {h}{sin30°}$-$\frac {h}{cos30°}$ ②

联立解得

H=($\sqrt {3}$-1)l

根据功能关系，人做的功等于系统机械能的增加量，故W=mgH=($\sqrt {3}$-1)mgl，故A错误，B正确；

C、D、将人的速度沿着平行绳子和垂直绳子方向正交分解，如图

人的速度为：v$_1$=$\frac {v}{sinθ}$，由于角度θ不断增加，故人的速度不断减小，故C错误，D正确；

故选BD．

点评：

本题关键是根据功能关系求解变力的功，同时要结合运动的合成与分解进行分析，不难．

3单选题

如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的$\frac {1}{2}$．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是(　　)

2.5＜a＜4

2.5≤a＜3.5

3≤a＜4

3＜a≤3.5

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，以及敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，得出最小长度，即可得出答案．

解答：

解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的$\frac {1}{2}$．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，

根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm

而此时还要敲击1次故长度要大于3cm，

第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm

所以a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，

∴a的取值范围是：3＜a≤3.5．

故选：D．

点评：

此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确的分析得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，与最小长度是解决问题的关键．

4单选题

如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的$\frac {1}{3}$．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是acm，若铁钉总长度为6cm，则a的取值范围是(　　)

$\frac {54}{13}$≤a≤$\frac {9}{2}$

$\frac {54}{13}$＜a≤$\frac {9}{2}$

$\frac {54}{13}$≤a＜$\frac {9}{2}$

$\frac {54}{13}$＜a＜$\frac {9}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意得敲击2次后铁钉进入木块的长度是a+$\frac {1}{3}$a，而此时还要敲击1次，所以两次敲打进去的长度要小于6，经过三次敲打后全部进入，所以三次敲打后进入的长度要大于等于6，列出不等式组即可得出答案．

解答：

解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的$\frac {1}{3}$．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，

根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是a+$\frac {1}{3}$a=$\frac {4}{3}$a(cm)

而此时还要敲击1次，

∵a的最大长度为：6cm，

故$\frac {4}{3}$a＜6，

第三次敲击进去最大长度是前一次的$\frac {1}{3}$，也就是第二次的$\frac {1}{3}$=$\frac {1}{9}$a(cm)，

∴$\left\{\begin{matrix}$\frac {4}{3}$a＜6 \ a+$\frac {1}{3}$a+$\frac {1}{9}$a≥6 \ \end{matrix}\right.$，

∴a的取值范围是：$\frac {54}{13}$≤a＜$\frac {9}{2}$．

故选C．

点评：

此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确的分析得出两次敲打进去的长度和三次敲打进去的长度是解决问题的关键．

5单选题

用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是（　　）

($\sqrt {3}$-1)d

($\sqrt {2}$-1)d

$\frac {$\sqrt {51}$}{2}$d

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$d

题目答案

答案解析

分析：

阻力与深度成正比，力是变力，可以应用f-d图象分析由动能定理答题．

解答：

解：由题意可知，阻力与深度d成正比，f-d图象如图所示，

F-x图象与坐标轴所形成图形的面积等于力所做的功，

每次钉钉子时做功相同，如图所示可得：

力与深度成正比，则：f=kd，f′=kd′，

两次做功相同，$\frac {1}{2}$df=$\frac {1}{2}$(f+f′)(d′-d)，

解得：d′=$\sqrt {2}$d

第二次钉子进入木板的深度：h=d′-d=($\sqrt {2}$-1)d．

故选：B．

点评：

本题考查了变力做功问题，可以应用图象法解题，也可以求出力的平均值，应用动能定理解题．

6填空题

用质量为5kg的质地均匀的铁索从10m深的井中吊起质量为20kg的物体，在这个过程中至少做功J.

填空题答案仅供参考

题目答案

2250

答案解析

分析：

在上升过程中，人做的功将全部转化为物体的重力势能此时做功最少，其中链条重心上升的高度为链条的一半.

解答：

解：重物上升克服重力做功为W=Mgh=20×10×10J=2000J

铁链上升克服重力做功为W$_1$=mg•$\frac {h}{2}$=5×10×$\frac {10}{2}$J=250J

故整个过程需克服重力做功为W_总=W+W$_1$=2250J

答：在这个过程中至少做功2250J.

点评：

本题主要考查了恒力做功，抓住链条上升过程中重心上升的高度为链条的一半即可.

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