分析：

利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A，进而可求∠A$_1$，由于∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A，∠A$_2$=$\frac {1}{2}$∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A，…，以此类推可知∠A$_2$013=$\frac {1}{2}$∠A=$\frac {m}{2}$°．

解答：

解：∵A$_1$B平分∠ABC，A$_1$C平分∠ACD，

∴∠A$_1$BC=$\frac {1}{2}$∠ABC，∠A$_1$CA=$\frac {1}{2}$∠ACD，

∵∠A$_1$CD=∠A$_1$+∠A$_1$BC，

即$\frac {1}{2}$∠ACD=∠A$_1$+$\frac {1}{2}$∠ABC，

∴∠A$_1$=$\frac {1}{2}$(∠ACD-∠ABC)，

∵∠A+∠ABC=∠ACD，

∴∠A=∠ACD-∠ABC，

∴∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A，

∴∠A$_1$=$\frac {1}{2}$m°，

∵∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A，∠A$_2$=$\frac {1}{2}$∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A，

…

以此类推∠A$_2$013=$\frac {1}{2}$∠A=$\frac {m}{2}$°．

故答案为：$\frac {m}{2}$，选A．

点评：

本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A，并能找出规律．

分析：

读懂题意，根据角平分线的定义找规律，按规律作答．利用外角的平分线表示∠ACA$_1$，再根据角平分线和三角形内角和定理求出∠A$_1$等于∠A的一半，同理，可以此类推，后一个是前一个的一半，而2的次数与脚码相同．

解答：

解：∵∠ACA$_1$=∠A$_1$CD=$\frac {1}{2}$∠ACD=$\frac {1}{2}$(∠A+∠ABC)，

又∵∠ABA$_1$=∠A$_1$BD=$\frac {1}{2}$∠ABD，

∠A$_1$CD=∠A$_1$BD+∠A$_1$，

∴∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A=$\frac {1}{2}$α．

同理∠A$_2$=$\frac {1}{2}$∠A$_1$，…

即每次作图后，角度变为原来的$\frac {1}{2}$．

故∠A$_2$009=$\frac {α}{2}$，选A．

点评：

本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

分析：

根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠A$_1$=$\frac {1}{2}$∠A=$\frac {a}{2}$，∠A$_2$=$\frac {1}{2}$∠A$_1$=$\frac {a}{2}$，…，依此类推可知∠A$_2$011的度数．

解答：

解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A$_1$，

∴∠A$_1$=180°-$\frac {1}{2}$∠ACD-∠ACB-$\frac {1}{2}$∠ABC

=180°-$\frac {1}{2}$ (∠ABC+∠A)-(180°-∠A-∠ABC)-$\frac {1}{2}$∠ABC

=$\frac {1}{2}$∠A

=$\frac {a}{2}$；

同理可得，∠A$_2$=$\frac {1}{2}$∠A$_1$=$\frac {a}{2}$，

…

∴∠A$_2$011=$\frac {a}{2}$．

故答案是：$\frac {a}{2}$，选B．

点评：

本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是沟通外角和内角的关系．

分析：

根据三角形外角的性质知，∠1+∠2=90°+∠3+∠4；又由外角平分线与内角平分线的性质，得∠1=∠2，∠3=∠4；再根据平角的性质知∠1+∠2+∠5=180°；最后在△ACB中，根据三角形的内角和定理来求∠ACB的度数．

解答：

解：∵BC是∠OBA的外角平分线，

∴∠1+∠2=∠AOB+∠3+∠4，即∠1+∠2=90°+∠3+∠4，

∠1=∠2；

又∵AC是∠OAB的内角平分线，

∴∠3=∠4；

∴∠1=45°+∠3，

∴∠1-∠3=45°；

在△ACB中，

∠ACB=180°-∠3-∠2-∠5，

又∠1+∠2+∠5=180°，

∴∠ACB=∠1+∠2+∠5-∠3-∠2-∠5=∠1-∠3=45°，即∠ACB=45°；

故答案为：45°．

点评：

本题主要考查了三角形的外角的性质及坐标与图形的性质．解答的关键是沟通外角和内角的关系．

分析：

根据已知得出∠DBC=$\frac {1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac {1}{2}$∠ACE，根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和得出∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+∠ABC=∠ACE，进而得出$\frac {1}{2}$∠ABC+∠D=$\frac {1}{2}$(∠A+∠ABC)，即可求得∠A的值．

解答：

解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，

∴∠DBC=$\frac {1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac {1}{2}$∠ACE，

∵∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+∠ABC=∠ACE，

∴$\frac {1}{2}$∠ABC+∠D=$\frac {1}{2}$∠ACE，

即$\frac {1}{2}$∠ABC+∠D=$\frac {1}{2}$(∠A+∠ABC)，

解得：$\frac {1}{2}$∠A=30°，

∴∠A=60°，所以选C．

点评：

本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

分析：

根据角平分线的定义得∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，由三角形外角的性质有∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠ABC+∠A，则2∠P+2∠PBC=∠ABC+∠A，即可得到∠P=$\frac {1}{2}$∠A．

解答：

解：∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠ABC+∠A，BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，

∴∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，

∴2∠P+2∠PBC=∠ABC+∠A，

∴2∠P=∠A，即∠P=$\frac {1}{2}$∠A．

∵∠A=60°，

∴∠P=30°．

故答案为：30．

点评：

此题主要考查角平分线的意义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

分析：

先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=$\frac {1}{2}$∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．

解答：

解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，



∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ACE=∠A+∠ABC，

即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，

∴2∠1=2∠3+∠A，

∵∠1=∠3+∠D，

∴∠D=$\frac {1}{2}$∠A=$\frac {1}{2}$×30°=15°．

故选A．

点评：

本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．