分析：

根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．

解答：

当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，

BC与圆相切，

∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，

∴BC是⊙O的切线，(经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线)．

故答案为：∠ABC=90°．

点评：

此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．

分析：

连接CO，先证△COD≌△BOD，从而求得∠OCD=∠OBD=90°即得到了CD是⊙O的切线．

解答：

选C．

点评：

本题涉及圆的切线和全等三角形的判定的综合运用．

分析：

欲证AC与⊙O相切，只要证明圆心O到AC的距离等于圆的半径即可，即连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，利用三角形全等证明OE=OD．

解答：

选C．

点评：

本题考查了学生对切线的判定的理解及运用．

分析：

要求直线EF与⊙O相切于点A的条件，可先假设直线EF与⊙O相切于点A，再对选项进行判断．

解答：

解：假设直线EF与⊙O相切于点A，由弦切角定理可得∠EAB=∠C，故A正确；

因为AC不一定过圆心，所以AC不一定是⊙O直径，∠B=90°、EF⊥AC不一定成立，故B，C，D错误．

故选A．

点评：

本题考查了直线与圆相切的性质，难度不大．

分析：

连接OD，AD，OE，首先由AB是⊙O的直径，得出AD⊥BC，推出BD=DC，有等腰三角形的性质：三线合一可推出DE=DC；进而得到劣弧DB=劣弧DE；因为OA=OB推出OD是△ABC的中位线，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线；如果AE=2EF，则AE=CE，OE=$\frac {1}{2}$BC=BD，所以△OBD为等边三角形，而题目的条件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成．

解答：

解：连接OD，AD，OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)，

∴AD⊥BC；

∵在△ABC中，AB=AC，

∴AD是边BC上的中线，

∴BD=DC，∠BAD=∠DAC，

∴BD=DE(等角对等弦)，

∴劣弧DB=劣弧DE，故①③正确；

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD是△ABC的中位线，

即：OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD．

∴DF是⊙O的切线，故②正确；

假设AE=2EF，

∵∠B=∠C，∠DEC=∠B，

∴∠C=∠DEC，

∵DF⊥AC，

∴EF=CF，

∴AE=CE，

∵AO=BO，

∴OE=$\frac {1}{2}$BC，

∵OE=OB，

OB=BD=OD，

∴△ODB是等边三角形，

因为题目的条件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成了，

∴正确的结论有②③．

故选A．

点评：

此题考查的知识点是切线的判定与性质、等腰三角形的性质及圆周角定理，解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答．