已知关于x的一元二次方程x+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.
(1)k的取值范围为k<;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,则k=.
分析:
(1)根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的范围;
(2)找出k范围中的整数解确定出k的值,经检验即可得到满足题意k的值.
解答:
解:(1)根据题意得:△=4-4(2k-4)=20-8k>0,
解得:k<$\frac {5}{2}$;
(2)由k为正整数,得到k=1或2,
利用求根公式表示出方程的解为x=-1±$\sqrt {}$,
∵方程的解为整数,
∴5-2k为完全平方数,
则k的值为2.
点评:
此题考查了根的判别式,一元二次方程的解,以及公式法解一元二次方程,弄清题意是解本题的关键.
关于x的一元二次方程(k-3)x-3x+2=0有两个不相等的实数根.若方程的两根均为整数,则正整数k=.
分析:
首先由于一元二次方程有两个不相等的实数根,则可知k-3≠0,△>0,公共部分就是k的取值范围.
再通过k的取值范围确定出k的正整数值,依次代入求出一元二次方程的解,满足两根都是整数就可以.
解答:
解:∵方程有两个不相等的实数根,∴$\left\{\begin{matrix}(-3)_-4×2(k-3)>0. \ k-3≠0. \ \end{matrix}\right.$
解得,k<$\frac {33}{8}$且k≠3.
∴k的正整数值为1、2、4
如果k=1,原方程为-2x-3x+2=0.
解得x$_1$=-2,x$_2$=$\frac {1}{2}$,不符合题意,舍去.
如果k=2,原方程为-x-3x+2=0,
解得x$_1$=$\frac {-3+$\sqrt {17}$}{2}$,x$_2$=$\frac {-3-$\sqrt {17}$}{2}$,不符合题意,舍去.
如果k=4,原方程为x-3x+2=0,解得x$_1$=1,x$_2$=2,符合题意.
∴k=4.
点评:
这道题主要考查一元二次方程的根的判别式,熟知一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根与△=b_-4ac的关系是解答此题的关键.
关于x的一元二次方程x-2mx+m_-4m-5=0与mx-8x+16=0的根都是整数.则整数m=.
分析:
根据△的意义得到对于一元二次方程x-2mx+m_-4m-5=0有根得到(2m)_-4(m_-4m-5)=16m+20≥0,解得m;对于mx-8x+16=0是一元二次方程得到m≠0,且方程有根得到(-8)_-4m×16≥0,解得m,由此综合得到m的范围,再根据m是整数,取得m的整数解,然后分别把取得的整数m代入方程求解,再确定满足条件的m的值.
解答:
解:∵关于x的一元二次方程x-2mx+m_-4m-5=0的根都是整数,
∴△=(2m)_-4(m_-4m-5)=16m+20≥0,解得m≥-$\frac {5}{4}$,
∵关于x的一元二次方程mx-8x+16=0的根都是整数,
∴m≠0,
∴△=(-8)_-4m×16≥0,解得m≤1,
∴-$\frac {5}{4}$≤m≤1且m≠0,
∵m是整数,
∴m=-1或1,
当m=-1时,mx-8x+16=0化为-x-8x+16=0,解得x=-4±4$\sqrt {2}$,不合题意舍去;
当m=1时,x-2mx+m_-4m-5=0化为x-2x-8,解得x$_1$=4,x$_2$=-2,
方程mx-8x+16=0化为x-8x+16=0,解得x$_1$=x$_2$=4,
∴m=1.
点评:
本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b_-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的解法.
已知关于x的方程x-2x-2n=0有两个不相等的实数根.
(1)n的取值范围为n>;
(2)若n<5,且方程的两个实数根都是整数,则n=、或(从小到大依次填写).
分析:
(1)关于x的方程x-2x-2n=0有两个不相等的实数根,即判别式△=b_-4ac>0.即可得到关于n的不等式,从而求得n的范围;
(2)利用配方法解方程,然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值.
解答:
解:(1)∵关于x的方程x-2x-2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=-2、常数项c=-2n,
∴△=b_-4ac=4+8n>0,
解得n>-$\frac {1}{2}$;
(2)由原方程,得
(x-1)_=2n+1,
解得x=1±$\sqrt {2n+1}$;
∵方程的两个实数根都是整数,且-$\frac {1}{2}$<n<5,$\sqrt {2n+1}$不是负数,
∴0<2n+1<11,且2n+1是完全平方形式,
∴2n+1=1,2n+1=4或2n+1=9,
解得n=0,n=1.5或n=4.
点评:
本题考查了一元二次方程的根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
关于x的一元二次方程(k-3)x-3x+2=0有两个不相等的实数根.
(1)k的取值范围为k<且k≠.
(2)若当k取正整数时,方程的两根均为整数,则k=.
分析:
(1)一元二次方程有两个不相等的实数根,则k-3≠0,△>0,公共部分就是k的取值范围.
(2)通过(1)中k的取值范围确定出k的值,依次代入求出一元二次方程的解,满足两根都是整数就可以.
解答:
解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴$\left\{\begin{matrix}(-3)_-4×2(k-3)>0. \ k-3≠0. \ \end{matrix}\right.$
解得,k<$\frac {33}{8}$且k≠3.
(2)k的正整数值为1、2、4
如果k=1,原方程为-2x-3x+2=0.
解得x$_1$=-2,x$_2$=$\frac {1}{2}$,不符合题意,舍去.
如果k=2,原方程为-x-3x+2=0,
解得x$_1$=$\frac {-3+$\sqrt {17}$}{2}$,x$_2$=$\frac {-3-$\sqrt {17}$}{2}$,不符合题意,舍去.
如果k=4,原方程为x-3x+2=0,解得x$_1$=1,x$_2$=2,符合题意.
∴k=4.
点评:
这道题主要考查一元二次方程的根的判别式,熟知一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根与△=b_-4ac的关系是解答此题的关键.