分析：

因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．

解答：

解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，

∴DF∥BC，

∴∠C=90°，

∴四边形BCDE是矩形．

∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，

∴AB=4，

∴AC=$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$．

∴BE=CD=$\sqrt {3}$．

∴四边形BCDE的面积为：2×$\sqrt {3}$=2$\sqrt {3}$．

故选A．

点评：

本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．

分析：

根据平行四边形的判定和矩形的判定判断即可．

解答：

解：

A、∵AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；

B、∵∠A=∠B=∠D=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；

C、根据AB=BC，AD=DC，∠C=90°不能推出平行四边形ABCD是矩形，错误，故本选项正确；

D、∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠A=90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；

故选C．

点评：

本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，注意：矩形的判定定理有①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③有三个角是直角的四边形是矩形．

分析：

矩形的判定定理有：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．

(2)有三个角是直角的四边形是矩形．

(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．

解答：

解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；

B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；

C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；

D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．

故选C．

点评：

本题主要考查的是矩形的判定定理．

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．

(2)有三个角是直角的四边形是矩形．

(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．

分析：

根据矩形的判定与性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：

解：A、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，正确，故本选项错误；

B、矩形的四个角都是直角，并且对角线相等，正确，故本选项错误；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故本选项错误；

D、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，利用直角梯形，所以错误，故本选项正确．

故选D．

点评：

本题考查了矩形的判定与性质，熟记判定与性质是解题的关键．

分析：

根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．

解答：

解：①∠A=∠B=∠C=∠D能得到四个角都是直角，故①正确；

②由∠B=∠C=∠D不可以得到矩形，故②错误；

③邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误；

④∠A=∠B=∠C=90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；

∴正确的有2个，

故选B．

点评：

本题主要考查了矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

分析：

易证∠ACB=90°，可得四边形BCDE为矩形，即可证明△ADF≌△BEF，可求得BE的长，根据DF是△ABC中位线可以求得BC的长度，即可求得矩形BCDE的面积，即可解题．

解答：

解：∵D，F是AC，AB中点，

∴DF是△ABC中位线，

∴DF∥BC，BC=2DF，

∴∠C=90°，

∴四边形BCDE为矩形，

∵在△ADF和△BEF中，$\left\{\begin{matrix}∠ADF=∠BEF \ ∠AFD=∠BFE \ AF=BF \ \end{matrix}\right.$，

∴△ADF≌△BEF，(AAS)

∴BE=AD，DF=EF=1，

∴DE=2，

∵∠A=30°，DF=1，

∴AD=$\sqrt {3}$，

∴矩形BCDE面积=BC•BE=2$\sqrt {3}$．

故选A．

点评：

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADF≌△BEF是解题的关键．

分析：

根据矩形的判定方法对四个命题进行判断.

解答：

解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；

C、四个角都相等的四边形是矩形，所以C选项错误；

D、四个角都相等的四边形是矩形，所以D选项正确.

故选D.

点评：

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成"如果...那么..."形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.