分析：

设AP=x，BE=y．通过△ABP∽△PCQ的对应边成比例得到$\frac {AD}{BP}$=$\frac {AP}{BE}$，所以$\frac {10}{10-x}$=$\frac {x}{y}$，即y=-$\frac {1}{10}$x+x．利用“配方法”求该函数的最大值．

解答：

解：设AP=x，BE=y．

如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°

∵PE⊥DP，

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°

∴∠1=∠3，

∴△ADP∽△BPE，

∴$\frac {AD}{BP}$=$\frac {AP}{BE}$，即$\frac {10}{10-x}$=$\frac {x}{y}$，

∴y=-$\frac {1}{10}$x+x=-$\frac {1}{10}$(x-5)_+$\frac {5}{2}$(0＜x＜10)；

∴当x=5时，y有最大值$\frac {5}{2}$．

故答案是：$\frac {5}{2}$．

点评：

本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”．

分析：

根据S$_1$=$\frac {1}{2}$S_矩形BDEF，S$_2$+S$_3$=$\frac {1}{2}$S_矩形BDEF，即可得出答案．

解答：

解：∵S$_1$=$\frac {1}{2}$BD×ED，S_矩形BDEF=BD×ED，

∴S$_1$=$\frac {1}{2}$S_矩形BDEF，

∴S$_2$+S$_3$=$\frac {1}{2}$S_矩形BDEF，

∴S$_1$=S$_2$+S$_3$．

点评：

本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．

分析：

设BE=x，则EC=4-x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=$\frac {x(4-x)}{4}$，则DF=4-FC=4-$\frac {x(4-x)}{4}$=$\frac {1}{4}$x-x+4=$\frac {1}{4}$(x-2)_+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF_=AD_+DF_，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为$\sqrt {}$=5．

解答：

解：设BE=x，则EC=4-x，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴$\frac {AB}{EC}$=$\frac {BE}{FC}$，即$\frac {4}{4-x}$=$\frac {x}{FC}$，解得FC=$\frac {x(4-x)}{4}$，

∴DF=4-FC=4-$\frac {x(4-x)}{4}$=$\frac {1}{4}$x-x+4=$\frac {1}{4}$(x-2)_+3

当x=2时，DF有最小值3，

∵AF_=AD_+DF_，

∴AF的最小值为$\sqrt {}$=5．

故答案为：5．

点评：

本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了正方形的性质以及二次函数的最值问题．

分析：

先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．

解答：

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=BC；

∴CD=BC-BD=9-3=6；

∴∠BAD+∠ADB=120°

∵∠ADE=60°，

∴∠ADB+∠EDC=120°

∴∠DAB=∠EDC，

又∵∠B=∠C=60°，

∴△ABD∽△DCE，

则$\frac {AB}{BD}$=$\frac {DC}{CE}$，

即$\frac {9}{3}$=$\frac {6}{CE}$，

解得：CE=2，

故AE=AC-CE=9-2=7．

故答案为：7．

点评：

此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．

分析：

解答：

点评：

本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．

分析：

分别在直角三角形BCF和直角三角形AEF中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长．

解答：

解：在直角三角形DCF中，

∵CD=5.4m，∠DCF=30°，

∴sin∠DCF=$\frac {FD}{DC}$=$\frac {DF}{5.4}$=$\frac {1}{2}$，

∴DF=2.7，

∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∵AD=BC=2，

∴cos∠ADE=$\frac {DE}{AD}$=$\frac {ED}{2}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

∴DE=$\sqrt {3}$，

∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键．

分析：

根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，根据三角形的角平分线的性质得到DF=EF，由勾股定理求出AE、BE，证△ABE∽△ECF，得出$\frac {AB}{CE}$=$\frac {BE}{CF}$，代入求出即可．

解答：

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，

∵AF平分∠DAE，EF⊥AE，

∴DF=EF，

由勾股定理得：AE_=AF_-EF_，AD_=AF_-DF_，

∴AE=AD=5，

在△ABE中由勾股定理得：BE=$\sqrt {}$=3，

∴EC=5-3=2，

∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴△ABE∽△ECF，

∴$\frac {AB}{CE}$=$\frac {BE}{CF}$，

∴$\frac {4}{2}$=$\frac {3}{CF}$，

∴CF=$\frac {3}{2}$．

故选C．

点评：

本题主要考查对矩形的性质，勾股定理，三角形的角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，求出AE、BE的长和证出△ABE∽△ECF是解此题的关键．

分析：

设AE边为x，则DE边为8-x，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求解即可．

解答：

解：根据题意，截出的三角形是相似三角形，

设AE=x，则DE边为8-x，

∵△ABE∽△DEC，

∴$\frac {AE}{CD}$=$\frac {AB}{DE}$，

即$\frac {x}{2$\sqrt {3}$}$=$\frac {2$\sqrt {3}$}{8-x}$，

整理得x-8x+12=0，

解得x$_1$=2，x$_2$=6(舍去)，

因此较短直角边的长为2．

故应填2．

点评：

本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．

分析：

已知△ABE∽△DEF，那么点A、D对应，点B、E对应，点E、F对应，首先根据相似三角形得到的比例线段求出DF的长，再由勾股定理求得EF的值．

解答：

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°；

∵△ABE∽△DEF，

∴$\frac {AB}{AE}$=$\frac {DE}{DF}$，即$\frac {6}{9}$=$\frac {2}{DF}$，解得DF=3；

在Rt△DEF中，DE=2，DF=3，由勾股定理得：

EF=$\sqrt {}$=$\sqrt {13}$≈3.61．

故答案为：3.61．

点评：

此题主要考查的是相似三角形的性质，找准对应顶点是解题的关键．