分析：

作点P关于OA对称的点P$_1$，作点P关于OB对称的点P$_2$，连接P$_1$P$_2$，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小，然后根据∠AOB=30°，点P在∠AOB内，点E、F分别在边OA、OB上移动，如果OP=15，可求出值．

解答：

解：作点P关于OA对称的点P$_1$，作点P关于OB对称的点P$_2$，连接P$_1$P$_2$，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．

从图上可看出△PEF的周长就是P$_1$P$_2$的长，

∵∠AOB=30°，

∴∠P$_1$OP$_2$=60°．

∵OP$_1$=OP$_2$，

∴△OP$_1$P$_2$是等边三角形．

∴P$_1$P$_2$=OP$_1$=OP=15．

∴△PEF周长的最小值是15．

故答案为：15．

点评：

此题主要考查了轴对称最短路径问题，关键是确定E，F的位置，然后找到最小周长的三角形，然后求出最小周长．

分析：

设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．

解答：

解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．

由轴对称性质可得，OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，

∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，

∴∠OP′P″=∠OP″P′=(180°-80°)÷2=50°，

又∵∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，

∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°．

故选B．

点评：

本题主要考查了轴对称--最短路线问题，找点A与B的位置是关键，需灵活运用轴对称性解题．

分析：

作P关于直线OA的对称点C，作P关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD，根据对称性质得出CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，求出∠COD=60°，得出△COD是等边三角形，推出CD=OC=OD=a，求出△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN=CD，代入即可得出答案．

解答：

解：作P关于直线OA的对称点C，作P关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，

则此时△PMN的周长最小，

连接OC，OD，

∵P关于直线OA的对称点C，P关于直线OB的对称点D，

∴CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，

∵∠POM+∠PON=∠AOB=30°，

∴∠COD=∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF=30°+30°=60°，

∴△COD是等边三角形，

∴CD=OC=OD=a，

即△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=a，

故答案为：a．

点评：

本题考查了轴对称-最短路线问题，对称的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是找出符合条件的M、N点的位置，题目比较好，但有一定的难度．

分析：

根据轴对称的性质可得∠P$_1$OA=∠AOP，∠P$_2$OB=∠BOP，PM=P$_1$M，PN=P$_2$N，P$_1$O=PO=P$_2$O，从而求出△OP$_1$P$_2$是等边三角形，△PMN的周长等于P$_1$P$_2$，从而得解．

解答：

解：∵P$_1$、P$_2$分别是P关于OA、OB的对称点，

∴∠P$_1$OA=∠AOP，∠P$_2$OB=∠BOP，PM=P$_1$M，PN=P$_2$N，P$_1$O=PO=P$_2$O，

∴∠P$_1$OP$_2$=∠P$_1$OA+∠AOP+∠P$_2$OB+∠BOP=2∠AOB，

∵∠AOB=30°，

∴∠P$_1$OP$_2$=2×30°=60°，

∴△OP$_1$P$_2$是等边三角形，

又∵△PMN的周长=PM+MN=PN=P$_1$M+MN+P$_2$N=P$_1$P$_2$，

∴△PMN的周长=P$_1$P$_2$=P$_1$O=PO=10cm．

故答案为：10．

点评：

本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键．

分析：

根据轴对称的性质可得PM=P$_1$M，PN=P$_2$N，然后求出△PMN的周长=P$_1$P$_2$．

解答：

解：∵P点关于OA、OB的对称点P$_1$、P$_2$，

∴PM=P$_1$M，PN=P$_2$N，

∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P$_1$M+MN+P$_2$N=P$_1$P$_2$，

∵△PMN的周长是10，

∴P$_1$P$_2$=10．

故答案为：10．

点评：

本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．

分析：

根据轴对称的性质可得P$_1$M=PM，P$_2$N=PN，然后求出△PMN的周长=P$_1$P$_2$．

解答：

解：∵P点关于OB、OA的对称点P$_1$，P$_2$，

∴P$_1$M=PM，P$_2$N=PN，

∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P$_1$M+MN+P$_2$N=P$_1$P$_2$，

∵P$_1$P$_2$=20，

∴△PMN的周长=20．

故选C．

点评：

本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

分析：

设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．

解答：

解：如图所示：

分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，

连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．

如图所示：由轴对称性质可得，

OP′=OP″=OP，∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，

所以∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，

所以∠OP′P″=∠OP″P′=(180°-80°)÷2=50°，

又因为∠BPO=∠OP″B=50°，∠APO=∠AP′O=50°，

所以∠APB=∠APO+∠BPO=100°．

故选C．

点评：

本题主要考查了轴对称--最短路线问题，找点A与B的位置是关键，需灵活运用轴对称性解题．

分析：

连接OC、OD，根据轴对称的性质可得PM=CM、PN=DN，OC=OD=OP，∠AOP=∠AOC，∠BOP=∠BOD，然后求出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出CD=4cm，再求出△PMN的周长=CD，从而得解．

解答：

解：如图，连接OC、OD，

∵C、D分别是P关于OA、OB的对称点，

∴PM=CM、PN=DN，OC=OD=OP，∠AOP=∠AOC，∠BOP=∠BOD，

∵∠AOB=30°，

∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOD+∠BOP=2∠AOB=2×30°=60°，

∴△OCD是等边三角形，

∵OP=4cm，

∴CD=OC=4cm，

∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=4cm．

故答案为：4cm．

点评：

本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．