分析：

利用待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D．

解答：

解：∵抛物线y=ax+bx+3经过点A(1，0)，点C(4，3)，

∴$\left\{\begin{matrix}a+b+3=0 \ 16a+4b+3=3 \ \end{matrix}\right.$，

解得$\left\{\begin{matrix}a=1 \ b=-4 \ \end{matrix}\right.$，

所以，抛物线的解析式为y=x-4x+3；

∵点A、B关于对称轴对称，

∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，

则$\left\{\begin{matrix}k+b=0 \ 4k+b=3 \ \end{matrix}\right.$，

解得$\left\{\begin{matrix}k=1 \ b=-1 \ \end{matrix}\right.$，

所以，直线AC的解析式为y=x-1，

∵y=x-4x+3=(x-2)_-1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=2-1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D(2，1)，使△BCD的周长最小；

点评：

本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．

分析：

CD的最大值即为点C的纵坐标减去点D的纵坐标，据此列出CD的表达式，为关于x的二次函数，求出二次函数的最大值即可．

解答：

解：根据题意得，CD=2x+1-x_=-x+2x+1=-(x-2x+1-1)+1=-(x-2x+1)+2=-(x-1)_+2，

可见函数最大值为2．

故答案为2．

点评：

本题考查了二次函数与一次函数的关系，将求CD的最大值转化为求关于x的二次函数的最大值是解题的关键．

分析：

由$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x \ y=-$\frac {1}{4}$x+6 \ \end{matrix}\right.$，得到A，B两点的坐标，再运用待定系数法确定直线AB的解析式，当一条直线与直线AB平行，且与抛物线只有一个交点P时，三角形PAB面积最大．将直线解析式y=$\frac {1}{2}$x+m与抛物线解析式联立消去y，得到关于x的一元二次方程，令根的判别式等于0，求出m的值，即可确定出此时P的坐标．

解答：

解：由$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x \ y=-$\frac {1}{4}$x+6 \ \end{matrix}\right.$，得A(-6，-3)，B(4，2)．

设直线AB的解析式为y=kx+b，

将A与B坐标代入得：$\left\{\begin{matrix}-6k+b=-3 \ 4k+b=2 \ \end{matrix}\right.$，

解得：$\left\{\begin{matrix}k=$\frac {1}{2}$ \ b=0 \ \end{matrix}\right.$，

∴直线AB的解析式为y=$\frac {1}{2}$x．

设平行于直线AB，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=$\frac {1}{2}$x+m，

此时直线与抛物线交于点P，使得△PAB的面积最大，

与二次函数解析式联立消去y得：-$\frac {1}{4}$x+6=$\frac {1}{2}$x+m，

整理得：x+2x+4m-24=0，

∴△=4-4(4m-24)=0，

解得：m=$\frac {25}{4}$，

∴此时直线方程为y=$\frac {1}{2}$x+$\frac {25}{4}$．

由$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x+$\frac {25}{4}$ \ y=-$\frac {1}{4}$x+6 \ \end{matrix}\right.$，解得$\left\{\begin{matrix}x=-1 \ y=$\frac {23}{4}$ \ \end{matrix}\right.$，

∴点P坐标为(-1，$\frac {23}{4}$)．

故答案为：(-1，$\frac {23}{4}$)．

点评：

此题考查了抛物线与x轴的交点，两直线平行时斜率满足的关系，解题的关键是：“平行于直线AB，且与抛物线只有一个交点的直线方程与抛物线交点为P，使得△PAB的面积最大”．

分析：

根据待定系数法，可得抛物线的解析式；

根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案．

解答：

解：设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，将A(-2，0)，B(-$\frac {1}{2}$，0)，C(0，2)代入解析式，得

4a-2b+c＝014a-12b+c＝0c＝2，

解得a＝2b＝5c＝2．

∴抛物线的解析式是y=2x+5x+2；



由题意可求得AC的解析式为y=x+2，

如图1，

设D点的坐标为(t，2t_+5t+2)，过D作DE⊥x轴交AC于E点，

∴E点的坐标为(t，t+2)，

DE=t+2-(2t_+5t+2)=-2t_-4t，用h表示点C到线段DC所在直线的距离，

S_△DAC=S_△CDE+S_△ADE=12DE•h+12DE(2-h)=12DE•2=DE=-2t_-4t=-2(t-1)_+2

∵-2＜t＜0，

∴当t=-1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为(-1，-1)．

点评：

本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用图形割补法求面积是解题关键．