《分段函数求值》分段函数求值

1单选题

设函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+x， x＜0 \ -x_， x≥0 \ \end{matrix}\right.$，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是( )

(-∞，2)

(-∞，-2]

(-∞，$\sqrt {2}$]

(-∞，$\sqrt {3}$]

题目答案

答案解析

分析：

画出函数f(x)的图象，由 f(f(a))≤2，可得 f(a)≥-2，数形结合求得实数a的取值范围．

解答：

解：∵函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+x， x＜0 \ -x_， x≥0 \ \end{matrix}\right.$，它的图象如图所示：

由 f(f(a))≤2，可得 f(a)≥-2．

由f(x)=-2，可得-x_=-2，即x=$\sqrt {2}$，

故当f(f(a))≤2时，则实数a的取值范围是a≤$\sqrt {2}$，

故答案为：(-∞，$\sqrt {2}$]，所以选C．

点评：

本题主要考查分段函数的应用，及其不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

2单选题

设f(x)=$\left\{\begin{matrix}x，x∈(-∞，a) \ x_，x∈[a，+∞) \ \end{matrix}\right.$，若f(2)=4，则a的取值范围为( )．

(-∞，1]

(-∞，2]

(-∞，-1]

(-∞，-2]

题目答案

答案解析

分析：

可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．

解答：

解：当a＞2时，f(2)=2≠4，不合题意；

当a=2时，f(2)=2_=4，符合题意；

当a＜2时，f(2)=2_=4，符合题意；

∴a≤2，

故答案为：(-∞，2]，选B．

点评：

本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．

3单选题

设f(x)=$\left\{\begin{matrix}1，x＞0 \ 0，x=0 \ -1，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，g(x)=$\left\{\begin{matrix}1，x为有理数 \ 0，x为无理数 \ \end{matrix}\right.$，则f(g(π))的值为（　　）

-1

题目答案

答案解析

分析：

根据π是无理数可求出g(π)的值，然后根据分段函数f(x)的解析式可求出f(g(π))的值．

解答：

解：∵π是无理数

∴g(π)=0

则f(g(π))=f(0)=0

故选B．

点评：

本题主要考查了分段函数的求值，解题的关键判定π是否为有理数，属于基础题．

4单选题

设函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}-x，x≤0 \ x_，x＞0 \ \end{matrix}\right.$，若f(a)=4，则实数a=（　　）

-4或-2

-4或2

-2或4

-2或2

题目答案

答案解析

分析：

分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．

解答：

解：当a≤0时

若f(a)=4，则-a=4，解得a=-4

当a＞0时

若f(a)=4，则a_=4，解得a=2或a=-2(舍去)

故实数a=-4或a=2

故选B

点评：

本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．

5填空题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}3x+2，x＜1 \ x+ax，x≥1 \ \end{matrix}\right.$，若f(f(0))=4a，则实数a=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f(0)的值，然后将其代入，由此可以得到一个关于a的一元一次方程，解方程即可得到a值．

解答：

解：∵f(0)=2，

∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a，

所以a=2

故答案为：2．

点评：

分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．

6单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}3x+2，x＜1 \ x+ax，x≥1 \ \end{matrix}\right.$若f(f(0))=4a，则实数a等于（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {4}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出f(0)=2，再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．

解答：

解：由题知f(0)=2，f(2)=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．

点评：

本题考查对分段函数概念的理解．

7单选题

设函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x-4x+6，x≥0 \ x+6，x＜0 \ \end{matrix}\right.$则不等式f(x)＞f(1)的解集是（　　）

(-3，1)∪(3，+∞)

(-3，1)∪(2，+∞)

(-1，1)∪(3，+∞)

(-∞，-3)∪(1，3)

题目答案

答案解析

分析：

先求f(1)，依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集．

解答：

解：f(1)=3，当不等式f(x)＞f(1)即：f(x)＞3

如果x＜0 则 x+6＞3可得 -3＜x＜0

如果 x≥0 有x-4x+6＞3可得x＞3或 0≤x＜1

综上不等式的解集：(-3，1)∪(3，+∞)

故选A．

点评：

本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．

8单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+2，x≤0 \ -x+2，x＞0 \ \end{matrix}\right.$，则不等式f(x)≥x_的解集是（　　）

[-1，1]

[-2，2]

[-2，1]

[-1，2]

题目答案

答案解析

分析：

已知分段函数f(x)求不等式f(x)≥x_的解集，要分类讨论：

①当x≤0时；

②当x＞0时，分别代入不等式f(x)≥x_，从而求出其解集．

解答：

解：①当x≤0时；f(x)=x+2，

∵f(x)≥x_，

∴x+2≥x_，

x-x-2≤0，

解得，-1≤x≤2，

∴-1≤x≤0；

②当x＞0时；f(x)=-x+2，

∴-x+2≥x_，

解得，-2≤x≤1，

∴0≤x≤1，

综上①②知不等式f(x)≥x_的解集是：-1≤x≤1，

故选A．

点评：

此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．

9单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}-x+1，x＜0 \ x-1，x≥0 \ \end{matrix}\right.$，则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是（　　）

{x|-1≤x≤$\sqrt {2}$-1}

{x|x≤1}

{x|x≤$\sqrt {2}$-1}

{x|-$\sqrt {2}$-1≤x≤$\sqrt {2}$-1}

题目答案

答案解析

分析：

对f(x+1)中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．

解答：

解：依题意得$\left\{\begin{matrix}x+1＜0 \ x+(x+1)(-x)≤1 \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}x+1≥0 \ x+(x+1)x≤1 \ \end{matrix}\right.$

所以$\left\{\begin{matrix}x＜-1 \ x∈R \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}x≥-1 \ -$\sqrt {2}$-1≤x≤$\sqrt {2}$-1 \ \end{matrix}\right.$⇒x＜-1或-1≤x≤$\sqrt {2}$-1⇒x≤$\sqrt {2}$-1

故选：C．

点评：

本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．

10单选题

设f(x)=$\left\{\begin{matrix}|x-1|-2 |x|≤1 \ $\frac {1}{1+x}$ |x|＞1 \ \end{matrix}\right.$，则f[f($\frac {1}{2}$)]=（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {4}{13}$

-$\frac {9}{5}$

$\frac {25}{41}$

题目答案

答案解析

分析：

判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．

先求f($\frac {1}{2}$)，再求f[f($\frac {1}{2}$)]，由内而外．

解答：

解：f($\frac {1}{2}$)=|$\frac {1}{2}$-1|-2=-$\frac {3}{2}$，

f(-$\frac {3}{2}$)=$\frac {1}{1+(-$\frac {3}{2}$)}$=$\frac {4}{13}$，即f[f($\frac {1}{2}$)]=$\frac {4}{13}$

故选B

点评：

本题考查分段函数的求值问题，属基本题．

11单选题

已知f(x)=$\left\{\begin{matrix}1，x≥0 \ -1，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，则不等式x+(x+2)•f(x+2)≤5的解集是（　　）

{x|-2≤x≤$\frac {3}{2}$}

{x|x＜-2}

{x|x≤$\frac {3}{2}$}

题目答案

答案解析

分析：

先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入不等式x+(x+2)•f(x+2)≤5求解即可．

解答：

解：①当x+2≥0，即x≥-2时，则x+(x+2)f(x+2)≤5转化为：2x+2≤5，解得：x≤$\frac {3}{2}$，

∴-2≤x≤$\frac {3}{2}$；

②当x+2＜0，即x＜-2时，x+(x+2)f(x+2)≤5转化为：x+(x+2)•(-1)≤5

∴-2≤5，∴x＜-2．

综上x≤$\frac {3}{2}$．

故选C

点评：

本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，属于中档题．

12填空题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{}2x，x＞0 \\ x+3，x≤0 \end{array}\right.$．若f(m)+f($\frac {3}{2}$)=0，则实数m的值等于．

填空题答案仅供参考

题目答案

-6

答案解析

分析：

由题意可知f($\frac {3}{2}$)=3，从而可得f(m)=-3，进而可求得实数m的值．

解答：

解：∵f(x)=$\left\{\begin{array}{}2x，x＞0 \\ x+3，x≤0 \end{array}\right.$，∴f($\frac {3}{2}$)=2×$\frac {3}{2}$=3，又f(m)+f($\frac {3}{2}$)=0，∴f(m)=-3，∴m+3=-3．∴m=-6．故答案为：-6．

点评：

本题考查函数的值，理解分段函数的意义是解题的关键，考查理解与运算能力，属于基础题．

13单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+2，(x≤-1) \ x_，(-1＜x＜2) \ 2x，(x≥2) \ \end{matrix}\right.$，若f(a)=3，则a的值为（　　）

$\sqrt {3}$

-$\sqrt {3}$

±$\sqrt {3}$

以上均不对

题目答案

答案解析

分析：

根据分段函数，分别讨论a的取值范围，解方程即可求出a的值．

解答：

解：由分段函数可知，

①若a≤-1，则由f(a)=3得f(a)=a+2=3，解得a=1，此时不成立．

②若-1＜a＜2，则由f(a)=3得f(a)=a_=3，解得a=±$\sqrt {3}$，此时a=$\sqrt {3}$成立．

③若a≥2，则由f(a)=3得f(a)=2a=3，解得a=$\frac {3}{2}$，此时不成立．

综上：a=$\sqrt {3}$．

故选：A．

点评：

本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式，对a进行分类讨论是解决本题的关键．

14单选题

设f(x)=$\left\{\begin{matrix}x-2，(x≥10) \ f[f(x+6)]，(x＜10) \ \end{matrix}\right.$，则f(5)的值为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

欲求f(5)的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值．

解答：

解析：∵f(x)=$\left\{\begin{matrix}x-2(x≥10) \ f[f(x+6)](x＜10) \ \end{matrix}\right.$，

∴f(5)=f[f(11)]

=f(9)=f[f(15)]

=f(13)=11．

故选B．

点评：

本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．

15单选题

设函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}2x-3，x≥1 \ $\frac {1-3x}{x}$，0＜x＜1 \ \end{matrix}\right.$，若f(x_0)=1，则x_0等于（　　）

$\frac {1}{4}$或3

2或3

$\frac {1}{4}$或2

$\frac {1}{4}$或2或3

题目答案

答案解析

分析：

根据解析式对x_0分类讨论，再分别根据解析式列出方程，解之即可求出x_0的值．

解答：

解：f(x_0)=1，

①当x_0≥1时，则有2x_0-3=1，

∴x_0=2；

②当0＜x_0＜1时，则有$\frac {1-3x}{x}$=1，

∴x_0=$\frac {1}{4}$．

综合①②，可得x_0=$\frac {1}{4}$或2．

故选C．

点评：

本题考查了分段函数的求值问题，对于分段函数的问题，一般选用数形结合和分类讨论的数学思想方法进行处理．本题选用分类讨论的思想进行解题．属于基础题．

16单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}$\frac {2}{3}$x-1(x≥0) \ $\frac {1}{x}$(x＜0) \ \end{matrix}\right.$，若f(a)＞a，则实数a的取值范围为（　　）

(-∞，-3)

(-∞，-1)

(1，+∞)

(0，1)

题目答案

答案解析

分析：

利用分段函数，构建不等式组，解不等式，即可求实数a的取值范围．

解答：

解：由题意，$\left\{\begin{matrix}a≥0 \ $\frac {2}{3}$a-1＞a \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}a＜0 \ $\frac {1}{a}$＞a \ \end{matrix}\right.$

∴a＜-1

∴实数a的取值范围为(-∞，-1)

故选B．

点评：

本题考查分段函数，考查解不等式，正确理解分段函数是解本题的关键，属于基础题．

17单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}$\frac {2}{3}$x-1(x≥0) \ $\frac {1}{x}$(x＜0) \ \end{matrix}\right.$，若f(x)=-$\frac {1}{2}$，则实数x的值为（　　）

-2

$\frac {3}{4}$

-2或$\frac {3}{4}$

不存在

题目答案

答案解析

分析：

先根据x的不同范围确定f(x)，然后代入函数解析式进行求解即可

解答：

解：若x≥0，则f(x)=$\frac {2}{3}$x-1=-$\frac {1}{2}$

∴x=$\frac {3}{4}$

若x＜0，则f(x)=$\frac {1}{x}$=-$\frac {1}{2}$

∴x=-2

综上可得，x=-2或x=$\frac {3}{4}$

故选C

点评：

本题主要考查了分段函数的函数值的求解的应用，属于基础题

18单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}2_-1(x≤0) \ f(x-1)+1(x＞0) \ \end{matrix}\right.$，则f(1)=（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由已知，f(1)=f(0)+1，再求出f(0)便可得出结果．

解答：

解：由已知，f(1)=f(0)+1

　　又f(0)=2_-1=0

所以f(1)=1

故选B

点评：

19填空题

f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+1(x≤0) \ -2x(x＞0) \ \end{matrix}\right.$，若f(x)=10，则x=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-3

答案解析

分析：

分x≤0和x＞0两种情况．x≤0时，f(x)=x+1=10，x＞0时，f(x)=-2x=10分别解方程并验证，最后取并集即可．

解答：

解：x≤0时，f(x)=x+1=10，x=-3

x＞0时，f(x)=-2x=10，x=-5(舍去)

故答案为：-3

点评：

本题考查分段函数求值问题，解决分段函数问题的关键是自变量在不同的范围内解析式不同．

20填空题

函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}$\frac {8}{x}$ x≥0 \ x(x-2) x＜0 \ \end{matrix}\right.$，则f[f(-2)]=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由已知中的函数解析式为f(x)=$\left\{\begin{matrix}$\frac {8}{x}$ x≥0 \ x(x-2) x＜0 \ \end{matrix}\right.$，我们先求出f(-2)的值，代入后即可求出f[f(-2)]的值．

解答：

解：∵函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}$\frac {8}{x}$ x≥0 \ x(x-2) x＜0 \ \end{matrix}\right.$，

∴f[f(-2)]=f(8)=1

故答案为：1

点评：

本题考查的知识点是函数的值，根据函数的解析式，求嵌套型函数的函数值时，要从里到外一层一层的求解．

21填空题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+1，x≥0 \ x_，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，则f[f(-2)]=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据函数的解析式先求出 f(-2)=(-2)_=4＞0，从而运算 f[f(-2)]=f(4)的值．

解答：

解：∵f(-2)=(-2)_=4＞0，∴f[f(-2)]=f(4)=4+1=5，

故答案为 5．

点评：

本题考查利用分段函数求函数的值的方法，求出f(-2)=4，是解本题的关键．

22填空题

已知f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+5 (x＞0) \ 1 (x=0) \ 0 (x＜0) \ \end{matrix}\right.$，则f(f(f(-5)))=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据已知条件依次求出f(-5)、f(f(-5))、f(f(f(-5)))的值．

解答：

解：∵已知f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+5 (x＞0) \ 1 (x=0) \ 0 (x＜0) \ \end{matrix}\right.$，∴f(-5)=0，f(f(-5))=f(0)=1，

f(f(f(-5)))=f(1)=1+5=6，

故答案为：6．

点评：

本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想．

23单选题

若函数f(x)=x|x-a|在[2，+∞)上y随x的增大而增大，则实数a的取值范围为( )

(-∞，+∞)

(-2，+∞)

(0，+∞)

(-∞，2]

题目答案

答案解析

分析：

化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想．

解答：

解：∵f(x)=x|x-a|=x-ax，x≥a-x+ax，x＜a，如图所示

当x≥a时，f(x)=x-ax，函数f(x)在[2，+∞)为增函数，

当x＜a时，f(x)=-x+ax，函数f(x)在(-∞，a2)为增函数，在(a2，a)为减函数

又函数f(x)=x|x-a|在[2，+∞)上单调递增，

∴a≤2，

∴实数a的取值范围为(-∞，2]

故答案为：(-∞，2]，所以选D．

点评：

本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题．

24单选题

若函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+5，x＜3 \ 2x-m，x≥3 \ \end{matrix}\right.$，且f(f(3))＞6，则实数m的取值范围为（　　）

(3，5)

(-∞，2)∪(2，3)

(2，3)

(-∞，2)∪(3，5)

题目答案

答案解析

分析：

利用分段函数求出函数值，然后求解不等式即可．

解答：

解：函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+5，x＜3 \ 2x-m，x≥3 \ \end{matrix}\right.$，

f(f(3))=f(6-m)，

当6-m＜3，即m＞3时，可得11-m＞6，解得m＜5，可得m∈(3，5)．

当6-m≥3，即m≤3时，可得2(6-m)-m＞6，解得m＜2，可得m∈(-∞，2)．

综上：m∈(-∞，2)∪(3，5)．

故选：D．

点评：

本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查计算能力．

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