《线性规划的拓展-距离型》线性规划的拓展-距离型

1单选题

设D为不等式组$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ 2x-y＜0 \ x+y-3≤0 \ \end{matrix}\right.$表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为( )

$\frac {3}{4}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{5}$

$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

首先根据题意做出可行域，欲求区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值，由其几何意义为点A(1，0)到直线2x-y=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．

解答：

解：如图可行域为阴影部分，

由其几何意义为点A(1，0)到直线2x-y=0距离，即为所求，

由点到直线的距离公式得：

d=$\frac {|2-0|}{$\sqrt {4+1}$}$=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，

则区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值等于 $\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$．

故答案为：$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，所以选D．

点评：

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

2单选题

设不等式组$\left\{\begin{matrix}x≥1 \ x-2y+3≥0 \ y≥x \ \end{matrix}\right.$所表示的平面区域是Ω$_1$，平面区域Ω$_2$与Ω$_1$关于直线3x-4y-9=0对称，对于Ω$_1$中的任意一点A与Ω$_2$中的任意一点B，|AB|的最小值等于（　　）

$\frac {28}{5}$

$\frac {12}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件$\left\{\begin{matrix}x≥1 \ x-2y+3≥0 \ y≥x \ \end{matrix}\right.$画出满足约束条件的可行域Ω$_1$，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．

解答：

解：由题意知，所求的|AB|的最小值，

即为区域Ω$_1$中的点到直线3x-4y-9=0的距离的最小值的两倍，

画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点(1，1)到直线3x-4y-9=0的距离最小，

故|AB|的最小值为2×$\frac {|3×1-4×1-9|}{5}$=4，

故选B．

点评：

利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解．

3单选题

设D是不等式组$\left\{\begin{matrix}x+2y≤10 \ 2x+y≥3 \ 0≤x≤4 \ y≥1 \ \end{matrix}\right.$表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x+y=10距离的最大值是( )

2$\sqrt {3}$

4$\sqrt {2}$

$\sqrt {5}$

题目答案

答案解析

分析：

首先根据题意作出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A(1，1)到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．

解答：

解：如图可行域为阴影部分，

由其几何意义得区域D的点A(1，1)到直线x+y=10的距离最大，即为所求，

由点到直线的距离公式得：

d=$\frac {|1+1-10|}{$\sqrt {2}$}$=4$\sqrt {2}$，

则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于 4$\sqrt {2}$，

故答案为：4$\sqrt {2}$，所以选C．

点评：

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．

4单选题

已知点P(x，y)的坐标满足条件$\left\{\begin{matrix}x+y≤4 \ y≥x \ x≥1 \ \end{matrix}\right.$，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值和最大值分别等于( )

$\sqrt {2}$，$\sqrt {5}$

$\sqrt {2}$，$\sqrt {10}$

$\sqrt {3}$，$\sqrt {5}$

$\sqrt {3}$，$\sqrt {10}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=|PO|表示(0，0)到可行域的距离，只需求出(0，0)到可行域的距离的最值即可．

解答：

解：画出可行域，如图所示：易得A(2，2)，OA=2$\sqrt {2}$B(1，3)，

OB=$\sqrt {10}$；C(1，1)，OC=$\sqrt {2}$

故|OP|的最大值为$\sqrt {10}$，

最小值为$\sqrt {2}$．

故选：B．

点评：

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

5填空题

已知$\left\{\begin{matrix}x≥1 \ x-y+1≤0 \ 2x-y-2≤0 \ \end{matrix}\right.$，则x+y_的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

(1)画可行域；

(2)设目标函数 z=x+y_，z为以(0，0)为圆心的圆半径平方(也可以理解为可行域内点到(0，0)点距离平方)；

(3)利用目标函数几何意义求最值．

解答：

解：已知$\left\{\begin{matrix}x≥1 \ x-y+1≤0 \ 2x-y-2≤0 \ \end{matrix}\right.$，

如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，

令z=x+y_，

z为以(0，0)为圆心的圆半径平方(也可以理解为可行域内点到(0，0)点距离平方)，

因此点A(1，2)，使z最小，代入得z=1+4=5

则x+y_的最小值是5．

点评：

本题关键点在于目标函数的几何意义

6单选题

已知a，b是正数，且满足2＜a+2b＜4．那么a_+b_的取值范围是（　　）

($\frac {4}{5}$，$\frac {16}{5}$)

($\frac {4}{5}$，16)

(1，16)

($\frac {16}{5}$，4)

题目答案

答案解析

分析：

在aob坐标系中，作出不等式表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．由坐标系内两点的距离公式可得z=a_+b_表示区域内某点到原点距离的平方，由此对图形加以观察可得a_+b_的上限与下限，即可得到本题答案．

解答：

解：以a为横坐标、b为纵坐标，在aob坐标系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面区域，

得到如图的四边形ABCD内部，(不包括边界)

其中A(2，0)，B(0，1)，C(0，2)，D(4，0)

设P(a，b)为区域内一个动点，

则|OP|=$\sqrt {}$表示点P到原点O的距离

∴z=a_+b_=|OP|_，

可得当P与D重合时，P到原点距离最远，

∴z=a_+b_＜($\sqrt {}$)_=16

可得当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，

P到原点距离最近，等于$\frac {1×2}{$\sqrt {}$}$=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$

∴z=a_+b_＞($\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$)_=$\frac {4}{5}$

综上所述，可得a_+b_的取值范围是($\frac {4}{5}$，16)

故选：B

点评：

本题给出二元一次不等式组，求z=a_+b_的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．

7单选题

已知$\left\{\begin{matrix}x+y-1≤0 \ x-y+1＞0 \ y≥-1 \ \end{matrix}\right.$，且u=x+y-4x-4y+8，则u的最小值为（　　）

$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {9}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

求解目标u=x+y-4x-4y+8=(x-2)_+(y-2)_，其几何意义是坐标平面内的点P(x，y)到点(2，2)的距离的平方，而点P在平面区域$\left\{\begin{matrix}x+y-1≤0 \ x-y+1＞0 \ y≥-1 \ \end{matrix}\right.$内，画出区域，分析图形之间的关系即可．

解答：

解：不等式组所表示的平面区域是如图中的△ABC，

根据题意只能是点(2，2)到直线x+y-1=0的距离最小，

这个最小值是$\frac {3}{$\sqrt {2}$}$，

故所求的最小值是$\frac {9}{2}$．

故选B．

点评：

本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域、二元函数的几何意义和数形结合思想．这类问题解题的关键是在数形结合思想指导下，运用二元函数的几何意义，本题中点(2，2)能保证是在图中的圆与直线x+y-1=0的切点处是问题的最优解，但如果目标函数是u=x+y-4y+4，则此时的最优解就不是直线与圆的切点，而是区域的定点C．

8单选题

设x、y满足不等式组$\left\{\begin{matrix}x-y+1≥0 \ x+y-1≥0 \ x≤2 \ \end{matrix}\right.$，则x+y_的最小值为（　　）

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

作出不等式组对应的平面区域，利用x+y_的几何意义求最小值．

解答：

解：设z=x+y_，则z的几何意义为动点P(x，y)到原点距离的平方．

作出不等式组$\left\{\begin{matrix}x-y+1≥0 \ x+y-1≥0 \ x≤2 \ \end{matrix}\right.$对应的平面区域如图

原点到直线x+y-1=0的距离最小．

由点到直线的距离公式得d=$\frac {|-1|}{$\sqrt {}$}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

所以z=x+y_的最小值为z=d_=$\frac {1}{2}$．

故选：D．

点评：

本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划问题的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．

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