若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=.
分析:
由题意可得,f(-x)=f(x)对于任意的x都成立,代入整理可得(a-4)x=0对于任意的x都成立,从而可求a
解答:
解:∵f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数
∴f(-x)=f(x)对于任意的x都成立
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4)
∴x+(a-4)x-4a=x+(4-a)x-4a
∴(a-4)x=0
∴a=4
故答案为:4
点评:
本题主要考查了偶函数的定义的应用,属于基础试题
已知函数f(x)=ax+2x是奇函数,则实数a=.
分析:
由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法.
解答:
解:由奇函数定义有f(-x)=-f(x),
则f(-1)=a-2=-f(1)=-(a+2),
解得a=0.
点评:
本题考查奇函数定义.
若函数f(x)=$\frac {x}{(2x+1)(x+a)}$的图象关于原点对称,则a=.
分析:
根据奇函数的图象的性质,可以函数f(x)图象关于原点对称,即f(x)为奇函数.
解答:
解:∵函数f(x)=$\frac {x}{(2x+1)(x+a)}$的图象关于原点对称,
∴函数f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴$\frac {-x}{(-2x+1)(-x+a)}$=-$\frac {x}{(2x+1)(x+a)}$,
∴(-2x+1)(-x+a)=(2x+1)(x+a)
解得,a=-$\frac {1}{2}$,
故答案为:-$\frac {1}{2}$
点评:
本题主要考查了奇函数的图象和性质,属于基础题.
若f(x)=x-|3x-2a|是偶函数,则实数a等于.
分析:
根据函数的奇偶性的定义得出x-|3x-2a|=)=x-|3x+2a|,求出2a=0.a=0.
解答:
解:∵f(x)=x-|3x-2a|是偶函数,
∴f(x)=f(-x),
∴x-|3x-2a|=)=x-|3x+2a|,
即|3x-2a|=|3x+2a|,
故答案为:0
点评:
本题考查了函数的奇偶性的定义,属于化简题目,得出条件即可,难度不大.
若f(x)=a-$\frac {2}{2_+1}$是奇函数,则a的值为( )
分析:
根据奇函数的性质,f(x)=-f(-x),代入f(x)的解析式,得到等式即可求出a的值.
解答:
解:∵f(x)是奇函数,
∴f(x)=-f(-x),
∴a-$\frac {2}{2_+1}$=-a+$\frac {2}{2_+1}$,
∴$\frac {a2_+a-2}{2_+1}$=$\frac {(2-a)2_-a}{2_+1}$,
解得a=1,
故选B.
点评:
本题主要考查奇函数的性质,根据f(x)=-f(-x)列出式子即可解得a的值,本题比较基础.
已知f(x)=ax+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
分析:
依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(-x)=f(x),且定义域关于原点对称,a-1=-2a.
解答:
解:依题意得:f(-x)=f(x),∴b=0,又∵a-1=-2a,∴a=$\frac {1}{3}$,
∴a+b=$\frac {1}{3}$.
故选 B.
点评:
本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(-x)=f(x);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间2个端点互为相反数.
若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=.
分析:
由已知中函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,根据函数的定义f(-x)=f(x)恒成立,可构造关于a的方程,解方程可得a值
解答:
解:∵函数y=f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,
∴f(-x)=f(x)
即(x+1)(x-a)=(-x+1)(-x-a)
解得a=1
故答案为1
点评:
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,其中熟练掌握偶函数的性质f(-x)=f(x),是解答本题的关键.
已知函数f(x)=ax+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则f($\frac {1}{2}$)=.
分析:
根据函数的奇偶性与定义域,可以求出a,b的值,得到函数的解析式,再把x=$\frac {1}{2}$代入解析式,就可求出f($\frac {1}{2}$)的值.
解答:
解:∵函数f(x)=ax+bx+3a+b是偶函数,∴f(-x)=f(x),
即ax-bx+3a+b=ax+bx+3a+b恒成立,
∴b=0
又∵函数的定义域为[a-1,2a],
∴a-1=-2a,
∴a=$\frac {1}{3}$
∴f(x)=$\frac {1}{3}$x+1,
∴f($\frac {1}{2}$)=$\frac {13}{12}$
故答案为$\frac {13}{12}$
点评:
本题主要考查函数奇偶性的定义,以及函数值的求法,属于基础题.
若函数f(x)=$\frac {(2x+1)(x+a)}{x}$为奇函数,则实数a的值为.
分析:
根据f(x)为奇函数有:f(-x)=-f(x),所以得到:$\frac {2x-(2a+1)x+a}{-x}$=$\frac {2x+(2a+1)x+a}{-x}$,所以-(2a+1)=2a+1,所以2a+1=0,所以a=-$\frac {1}{2}$.
解答:
解:f(-x)=$\frac {(-2x+1)(-x+a)}{-x}$=$\frac {2x-(2a+1)x+a}{-x}$=-$\frac {2x+(2a+1)x+a}{x}$;
∴2x-(2a+1)x+a=2x+(2a+1)x+a;
∴-(2a+1)=2a+1,∴a=-$\frac {1}{2}$.
故答案为:-$\frac {1}{2}$.
点评:
考查奇函数的概念,也可先将f(x)中的(2x+1)(x+a)展开,再求f(-x).