《和直线有关的对称问题》和直线有关的对称问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《和直线有关的对称问题》和直线有关的对称问题

1单选题

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)

A
2
B
1
C
$\frac {8}{3}$
D
$\frac {4}{3}$

题目答案

D

答案解析

分析：

建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P$_1$的坐标，和P关于y轴的对称点P$_2$的坐标，由P$_1$，Q，R，P$_2$四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．

解答：

解：建立如图所示的坐标系：

可得B(4，0)，C(0，4)，故直线BC的方程为x+y=4，

△ABC的重心为($\frac {0+0+4}{3}$，$\frac {0+4+0}{3}$)，设P(a，0)，其中0＜a＜4，

则点P关于直线BC的对称点P$_1$(x，y)，满足$\left\{\begin{matrix}$\frac {a+x}{2}$+$\frac {y+0}{2}$=4 \ $\frac {y-0}{x-a}$•(-1)=-1 \ \end{matrix}\right.$，

解得$\left\{\begin{matrix}x=4 \ y=4-a \ \end{matrix}\right.$，即P$_1$(4，4-a)，易得P关于y轴的对称点P$_2$(-a，0)，

由光的反射原理可知P$_1$，Q，R，P$_2$四点共线，

直线QR的斜率为k=$\frac {4-a-0}{4-(-a)}$=$\frac {4-a}{4+a}$，故直线QR的方程为y=$\frac {4-a}{4+a}$(x+a)，

由于直线QR过△ABC的重心($\frac {4}{3}$，$\frac {4}{3}$)，代入化简可得3a_-4a=0，

解得a=$\frac {4}{3}$，或a=0(舍去)，故P($\frac {4}{3}$，0)，故AP=$\frac {4}{3}$

故选D

点评：

本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．

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2单选题

直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（　　）

A
x+2y-1=0
B
2x+y-1=0
C
2x+y-3=0
D
x+2y-3=0

题目答案

D

答案解析

分析：

设所求直线上任一点(x，y)，关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．

解答：

解：解法一：(利用相关点法)设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x=1的对称点为(2-x，y)

在直线x-2y+1=0上，∴2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0故选答案D．

解法二：根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，

再根据两直线交点在直线x=1上选答案D

故选D．

点评：

本题采用两种方法解答，一是相关点法求轨迹方程；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．

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3单选题

直线y=$\frac {1}{2}$x关于直线x=1对称的直线方程是(       )

A
3x+2y-1=0
B
x+2y-2=0
C
2x-3y+5=0
D
2x-3y+8=0

题目答案

B

答案解析

分析：

本题求对称直线方程，先求斜率，再求对称直线方程上的一点，然后求得答案．

解答：

解：直线y=$\frac {1}{2}$x关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为-$\frac {1}{2}$，且过(2，0)点，所求直线方程为：x+2y-2=0．

故答案为：x+2y-2=0，选B．

点评：

考查对称知识，求直线方程，方法比较多；如采用相关点法、到角公式等方法．

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4单选题

点A(1，3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2，1)，则直线y=kx+b在x轴上的截距是（　　）

A
-$\frac {3}{2}$
B
$\frac {5}{4}$
C
-$\frac {6}{5}$
D
$\frac {5}{6}$

题目答案

D

答案解析

分析：

点关于直线对称，可以根据对称点的坐标，利用两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程即可求解出直线方程，最后令y=0求出在x轴上的截距．

解答：

解：由题意知$\left\{\begin{matrix}$\frac {3-1}{1+2}$•k=-1 \ 2=k•(-$\frac {1}{2}$)+b \ \end{matrix}\right.$，

解得k=-$\frac {3}{2}$，b=$\frac {5}{4}$，

∴直线方程为y=-$\frac {3}{2}$x+$\frac {5}{4}$，

其在x轴上的截距为-$\frac {5}{4}$×(-$\frac {2}{3}$)=$\frac {5}{6}$．

故选D．

点评：

本小题主要考查直线关于点、直线对称的直线方程、直线的截距、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

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5填空题

已知两点A(-2，-3)，B(3，0)关于直线l对称，直线l在x轴上的截距为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2}{5}$

答案解析

分析：

由题意可知l⊥AB，且线段AB的中点C($\frac {1}{2}$，-$\frac {3}{2}$)在直线l上．由垂直关系可得斜率，可得直线的点斜式方程，化为一般式即可；然后在直线l方程中令y=0可解得x值即为所求．

解答：

解：由题意可知l⊥AB，且线段AB的中点C($\frac {1}{2}$，-$\frac {3}{2}$)在直线l上．

又线段AB的斜率为k_AB=$\frac {-3-0}{-2-3}$=$\frac {3}{5}$，

由垂直关系可得直线l的斜率为-$\frac {5}{3}$，

再由线段AB的中点在直线l上可得y+$\frac {3}{2}$=-$\frac {5}{3}$(x-$\frac {1}{2}$)

化为一般式可得5x+3y+2=0

在直线l方程5x+3y+2=0中令y=0可解得x=-$\frac {2}{5}$，

∴直线l在轴上的截距为-$\frac {2}{5}$

点评：

本题考查直线的一般式方程和直线的截距，属基础题．

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6单选题

【2014·运城】光线从点A(-2，$\sqrt {3}$)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2$\sqrt {3}$)，则光线BC所在直线的倾斜角为（　　）

A
$\frac {π}{6}$
B
$\frac {π}{3}$
C
$\frac {2π}{3}$
D
$\frac {5π}{6}$

题目答案

B

答案解析

分析：


解答：


点评：

本题考查了轴对称问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的关系问题，是基础题．

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7单选题

过点P(-3，2)的光线l被直线y=0反射，设反射光线所在直线为l′，则l′必过定点（　　）

A
(-3，-2)
B
(3，2)
C
(3，-2)
D
(2，-3)

题目答案

A

答案解析

分析：

根据镜面反射的原理，反射光线与入射光线关于镜面所在直线对称，因此反射光线所在直线为l′，则l′必过P点关于直线y=0的对称点，求出P点关于直线y=0的对称点坐标即可．

解答：

解：∵光线l被直线y=0反射，

∴反射光线与入射光线关于直线y=0对称，

又∵入射光线经过点P(-3，2)，

∴反射光线经过点P'，并且点P'与P(-3，2)关于直线y=0对称，

可得点P'的坐标为P'(-3，-2)

所以反射光线所在直线为l′必过定点P'(-3，-2)

故选A

点评：

本题以镜面反射为载体，考查了点与点关于直线对称和直线方程的基本概念，属于基础题．

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8填空题

已知直线l$_1$：y=2x+3，l$_2$与l$_1$关于x轴对称，直线l$_2$的斜率是．

填空题答案仅供参考

题目答案

-2

答案解析

分析：

求出直线的斜率，根据关于x轴对称的两条直线的倾斜角互补，故它们的斜率互为相反数，由此可得结论．

解答：

解：由于关于x轴对称的两条直线的倾斜角互补，

故它们的斜率互为相反数．

由于l$_1$的斜率是2，

则l$_2$的斜率是-2，

故答案为：-2．

点评：

本题主要考查关于x轴对称的两条直线的斜率之间的关系，属于基础题．

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9单选题

若直线l$_1$：y=k(x-4)与直线l$_2$关于点(2，1)对称，则直线l$_2$恒过定点（　　）

A
(0，4)
B
(0，2)
C
(-2，4)
D
(4，-2)

题目答案

B

答案解析

分析：

先找出直线l$_1$恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称点(0，2)在直线l$_2$上，可得直线l$_2$恒过定点．

解答：

解：由于直线l$_1$：y=k(x-4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，

又由于直线l$_1$：y=k(x-4)与直线l$_2$关于点(2，1)对称，∴直线l$_2$恒过定点(0，2)．

故选B

点评：

本题考查直线过定点问题，由于直线l$_1$和直线l$_2$关于点(2，1)的对称，故有直线l$_1$上的定点关于点(2，1)对称点一定在直线l$_2$上．

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10单选题

已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）

A

x-y+1=0

B

x-y=0

C

x+y+1=0

D

x+y=0

题目答案

A

答案解析

分析：

先求P，Q的中点坐标，再求PQ的斜率，然后求出直线l的斜率，利用点斜式求出直线l的方程．

解答：

解：P，Q的中点坐标为(2，3)，PQ的斜率为：-1，所以直线l的斜率为：1，由点斜式方程可知：y-3=x-2，直线l的方程为：x-y+1=0故选A

点评：

本题是基础题，考查直线对称问题，直线的点斜式方程，对称问题注意一是垂直，斜率乘积为-1；二是平分，就是中点在对称轴上．

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11填空题

已知△OAB的顶点O(0，0)、A(2，0)、B(3，2)，OA边上的中线所在直线为l．点A关于直线l的对称点的坐标为(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

11

答案解析

分析：

求出线段OA的中点坐标，利用两点式方程求出l的方程；设出点A关于直线l的对称点的坐标，通过AA′与对称轴方程的斜率乘积为-1以及AA′的中点在对称轴上，得到方程组，求出对称点的坐标．

解答：

解：线段OA的中点为(1，0)，

于是中线方程为$\frac {y-2}{2-0}$=$\frac {x-3}{3-1}$，

即y=x-1；

设对称点为A′(a，b)，

则$\left\{\begin{matrix}$\frac {b-0}{a-2}$=-1 \ $\frac {b}{2}$=$\frac {2+a}{2}$-1 \ \end{matrix}\right.$，

解得$\left\{\begin{matrix}a=1 \ b=1 \ \end{matrix}\right.$，

即A′(1，1)．

点评：

本题是中档题，考查直线方程的求法，对称点的坐标的求法，考查计算能力．

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12单选题

若点P(m，n)，Q(n-1，m+1)关于直线l对称，则l的方程是( )

A
x-y+1=0
B
x-y=0
C
x+y+1=0
D
x+y=0

题目答案

A

答案解析

分析：

由对称的特点，直线l经过PQ的中点，且l垂直于PQ，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，再由点斜式方程，即可得到．

解答：


点评：

本题考查点关于直线对称的求法，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于中档题．

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13单选题

直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程是（　　）

A
3x+2y+6=0
B
2x-3y+6=0
C
3x+2y-6=0
D
3x-2y-6=0

题目答案

A

答案解析

分析：

把直线方程2x+3y+6=0中的x换成y，同时把直线方程2x+3y+6=0中的y换成x，即可得到直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程．

解答：

解：把直线方程2x+3y+6=0中的x换成y，同时把直线方程 2x+3y+6=0中的y换成x，即可得到直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程．

故直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程为3x+2y+6=0．

故选：A．

点评：

本题主要考查求一条直线关于直线y=x对称的直线方程的求法，只要把已知直线方程中的x换成y，同时把已知直线方程中的y换成x，即可得到已知直线关于直线y=x对称的直线方程．

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14填空题

与直线2x+y-1=0关于点(1，0)对称的直线的方程是=0．

填空题答案仅供参考

题目答案

2x+y-3

答案解析

分析：

在所求直线上取点(x，y)，关于点(1，0)对称的点的坐标为(a，b)，确定坐标之间的关系，代入已知直线方程，即可求得结论．

解答：

解：在所求直线上取点(x，y)，关于点(1，0)对称的点的坐标为(a，b)，则

$\left\{\begin{matrix}$\frac {x+a}{2}$=1 \ $\frac {y+b}{2}$=0 \ \end{matrix}\right.$，∴a=2-x，b=-y

∵(a，b)在直线2x+y-1=0上

∴2a+b-1=0

∴2(2-x)-y-1=0

∴2x+y-3=0

故答案为：2x+y-3=0

点评：

本题考查直线方程，考查对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．

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15填空题

直线L：2x-3y+1=0关于点P(-1，-2)对称的直线方程是=0．

填空题答案仅供参考

题目答案

2x-3y-9

答案解析

分析：

在所求直线上取点(x，y)，则关于点P(-1，-2)对称的点的坐标为(-2-x，-4-y)，代入2x-3y+1=0，可得所求直线的方程．

解答：

解：在所求直线上取点(x，y)，则关于点P(-1，-2)对称的点的坐标为(-2-x，-4-y)，代入2x-3y+1=0，可得2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，整理得2x-3y-9=0．

点评：

本题考查直线方程，考查中点坐标公式，考查学生的计算能力，属于中档题．

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16填空题

直线L$_1$：2x-y+1=0关于点P(2，1)的对称直线L$_2$的方程为=0．

填空题答案仅供参考

题目答案

2x-y-7

答案解析

分析：

在直线L$_2$上任意取一点A(x，y)，则由题意可得，点A关于点P的对称点B在直线L$_1$：2x-y+1=0上，由此求得关于x、y的方程，即为所求．

解答：

解：在直线L$_2$上任意取一点A(x，y)，则由题意可得，

点A关于点P(2，1)的对称点B(4-x，2-y)在直线L$_1$：2x-y+1=0上，

故有2(4-x)-(2-y)+1=0，即 2x-y-7=0，

故答案为：2x-y-7=0．

点评：

本题主要考查求一条直线关于某个点的对称直线的方法，属于中档题．

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