《染色问题》染色问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《染色问题》染色问题

1填空题

某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A、B、C、A$_1$、B$_1$、C$_1$上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种．

填空题答案仅供参考

题目答案

216

答案解析

分析：

由题意知分3步进行，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A$_4$_种选法；在A$_1$、B$_1$、C$_1$中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B$_1$、C$_1$，若B$_1$与A同色，则C$_1$只能选B点颜色；若B$_1$与C同色，则C$_1$有A、B处两种颜色可选．故为B$_1$、C$_1$选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，根据计数原理得到结果．

解答：

解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，

第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A$_4$_种选法；

第二步，在A$_1$、B$_1$、C$_1$中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；

第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B$_1$、C$_1$，若B$_1$与A同色，则C$_1$只能选B点颜色；

若B$_1$与C同色，则C$_1$有A、B处两种颜色可选．

故为B$_1$、C$_1$选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况，

则共有A$_4$_×3×3=216种方法．

故答案为：216

点评：

本题用到两个计数原理，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．

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2填空题

如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种(用数字作答)．

填空题答案仅供参考

题目答案

630

答案解析

分析：

根据题意，要求相邻的两个格子颜色不同，故用到颜色最少为2种，则分用2种颜色、3种颜色、4种颜色3种情况讨论，分析计算各种情况下的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答：

解：根据题意，分为三类：

第一类是只用两种颜色则为：C$_6$A$_2$=30种，

第二类是用三种颜色则为：C$_6$C$_3$C$_2$C$_2$=240种，

第三类是用四种颜色则为：C$_6$A$_4$=360种，

由分类计数原理，共计为30+240+360=630种，

故答案为630．

点评：

本题考查组合、排列的综合应用与分类计数原理的运用，注意分类时，明确分类的标准，做到不重不漏．

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3单选题

某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A、B、C、A$_1$、B$_1$、C$_1$上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有(　　)

A
264种
B
168种
C
240种
D
216种

题目答案

D

答案解析

分析：

由题意知分3步进行，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A$_4$_种选法；在A$_1$、B$_1$、C$_1$中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B$_1$、C$_1$，若B$_1$与A同色，则C$_1$只能选B点颜色；若B$_1$与C同色，则C$_1$有A、B处两种颜色可选．故为B$_1$、C$_1$选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，根据计数原理得到结果．

解答：

解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，

第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A$_4$_种选法；

第二步，在A$_1$、B$_1$、C$_1$中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；

第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B$_1$、C$_1$，若B$_1$与A同色，则C$_1$只能选B点颜色；

若B$_1$与C同色，则C$_1$有A、B处两种颜色可选．

故为B$_1$、C$_1$选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况，

则共有A$_4$_×3×3=216种方法．

故选D．

点评：

本题考查两个计数原理，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，需要“分类”还是需要“分步”．

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4填空题

用4种颜色给一个四棱锥的5个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有种．

填空题答案仅供参考

题目答案

72

答案解析

分析：

首先给顶点P选色，有4种结果，再给A选色有3种结果，再给B选色有2种结果，最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．

解答：

解：设四棱锥为P-ABCD．

下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，

(1)P的着色方法种数为C$_4$_，A的着色方法种数为C$_3$_，B的着色方法种数为C$_2$_，

C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C$_2$_．

(2)P的着色方法种数为C$_4$_，A的着色方法种数为C$_3$_，B的着色方法种数为C$_2$_，

C与B不同色时C的着色方法种数为C$_1$_，D的着色方法种数为C$_1$_．

综上两类共有C$_4$_•C$_3$_．2•C$_2$_+C$_4$_•C$_3$_•2=48+24=72种结果．

故答案为：72．

点评：

本题考查排列、组合的综合运用，是典型的涂色问题；解决此类问题，一般要先定一点或面，进而对其它的点面分情况讨论．

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5填空题

如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．

填空题答案仅供参考

题目答案

72

答案解析

分析：

分类型，选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同，求解即可．

解答：

解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C$_4$_•A$_3$_=24种

4色全用时涂色方法：C$_2$_•A$_4$_=48种

所以不同的着色方法共有72种．

故答案为：72

点评：

本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．

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6填空题

将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有种．

填空题答案仅供参考

题目答案

42

答案解析

分析：

第一块田有3种选择方法，第二、三、四、五块田均有2种选择方法，因此共有3×2×2×2×2=48种种植方法，而这48种方法中，包含了只种两种作物的可能，因此要将其除去，只种两种作物时，不同的种法有2×3=6种，因此本题的种植方法共有48-6=42种．

解答：

解：第一块田有3种种植方法，第二、三、四、五块田均有2种种植方法，

因此共有3×2×2×2×2=48种种植方法；

其中，有2×3=6种是只种两种作物的种植方法，

因此所求的种植方法有48-6=42种．

故答案为：42．

点评：

用分步计数法易求得总的种植方法，但是很多同学容易忽略只种2种作物的情况，因此做题时要读清题意，细心求解．

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7单选题

将三种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物，且同一种作物在相邻的试验田中，不同的种植方法有(　　)

A
24种
B
36种
C
42种
D
48种

题目答案

C

答案解析

分析：

将3种作物种植在5块试验田里，且相邻的试验田不能种同一种作物，就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，只能种2种，余下的几块都只能种2种，减去不合题意的，得到结果．

解答：

解：将3种作物种植在5块试验田里每块种一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，

就是第一块可以种3种不同的植物，第二块与第一块不同，就只能种2种不同的植物，

余下的几块都只能种2种不同的植物．

这样会造成5块田只种了3种作物中的2种植物的情况，而只种2种作物的方法有2$_3$种，

∴不同的种植方法共有3×2×2×2×2-2C$_3$_=42 (种 )，

故选C．

点评：

本题考查排列组合的实际应用问题，这种问题在2003年的高考中考查过，是一个出现几率比较大的问题，注意题目条件中的限制条件，属于中档题．

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8单选题

如图，用四种不同颜色给图中的ABCDEF六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有(　　)种．

A
144
B
216
C
264
D
360

题目答案

B

答案解析

分析：

由题意，4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，再给D、E、F涂色，由乘法原理得结论．

解答：

解：由题意，4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有$_4$种涂法，再给D、E、F涂色，因为D．E．F中必有一点用到第4种颜色$_3$，所以另外两点用到A．B．C三点所用颜色中的两种$_3$，此时涂法确定，

由乘法原理得$_4$$_3$$_3$=216种．

故选：B．

点评：

本题主要考查排列组合的基础知识，正确分步是关键，属于中档题．

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9单选题

将 3 种农作物都种植在如图的 4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有(　　)种．

A
6
B
12
C
18
D
24

题目答案

C

答案解析

分析：

第一块试验田有3种栽种方法，第二块试验田有2种栽种方法，其余的试验田都有2种栽种方法，即可得答案．

解答：

解：第一块试验田有3种栽种方法，第二块试验田有2种栽种方法，第三块试验田有2种栽种方法，

第四块试验田有2种栽种方法，故满足条件的栽种方法有 3×2×2×2=24种．

由于在4块试验田里只中2中作物不符合要求，

假设3种作物分别为a、b、c，则不符合条件的种法为abab、baba、acac、caca、bcbc、cbcb．

故在4块试验田里只中2中作物的方法共有$_3$×2=6种，故不同的种植方法共有24-6=18种，

故选：C．

点评：

本题考查简单计数原理的应用，求出每一块试验田的栽种方法，注意去掉在4块试验田里只中2中作物的方法数，是解题的易错点，属于中档题．

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10单选题

如图，用5种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻两格的颜色不同，则不同涂色方法的种数为(　　)

A
120
B
300
C
320
D
200

题目答案

C

答案解析

分析：

本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有5种结果，再给左边第二块涂色有4种结果，以此类推第三块也有4种结果，第四块也有4种结果，根据分步计数原理得到结果．

解答：

解：由题意知本题是一个分步计数问题，

首先给最左边一块涂色，有5种结果，

再给左边第二块涂色有4种结果，

以此类推第三块也有4种结果，

第四块也有4种结果，

∴根据分步计数原理知共有5×4×4×4=320

故选C．

点评：

本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是看清条件中对于涂色的限制，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．

纠错重做

11单选题

用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色给如图所示的四连圆涂色，要求相邻两个圆所图颜色不能相同，红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为(　　)

A
28
B
32
C
44
D
56

题目答案

C

答案解析

分析：

根据题意，分析可得红色只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆，据此分3种情况讨论：①、用红色涂第一、三个圆，②、用红色涂第二、四个圆，③、用红色涂第一、四个圆，分别求出每种情况下的涂色方案的数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答：

解：根据题意，红色至少要涂两个圆，而且相邻两个圆所图颜色不能相同，则红色只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆，

分3种情况讨论：

①、用红色涂第一、三个圆，

此时第2个圆不能为红色，有4种涂色方法，第4个圆也不能为红色，有4种涂色方法，

则此时共有4×4=16种涂色方案；

②、同理，当用红色涂第二、四个圆也有16种涂色方案；

③、用红色涂第一、四个圆，

此时需要在剩下的4种颜色中，任取2种，涂在第二、三个圆中，有A$_4$_=12种涂色方案；

则一共有16+16+12=44种不同的涂色方案；

故选：C．

点评：

本题考查排列、组合的运用，涉及分类计数原理的运用，本题需要分类讨论较多，注意按照一定的顺序，做到不重不漏．

纠错重做