《解含参一元二次不等式》解含参一元二次不等式 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《解含参一元二次不等式》解含参一元二次不等式

1单选题

0＜b＜1+a，若关于x的不等式(x-b)_＞(ax)_的解集中的整数恰有3个，则（　　）

A
-1＜a＜0
B
0＜a＜1
C
1＜a＜3
D
2＜a＜3

题目答案

C

答案解析

分析：

要使关于x的不等式(x-b)_＞(ax)_的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，

解答：

解：由题得不等式(x-b)_＞(ax)_

即(a_-1)x+2bx-b_＜0，它的解应在两根之间，

因此应有 a_-1＞0，解得a＞1或a＜-1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，

故有△=4b_+4b_(a_-1)=4a_b_＞0，

不等式的解集为$\frac {-b}{a-1}$＜x＜$\frac {b}{a+1}$或0＜$\frac {b}{a+1}$＜x＜$\frac {-b}{a-1}$．

若不等式的解集为$\frac {-b}{a-1}$＜x＜$\frac {b}{a+1}$，

又由0＜b＜1+a得0＜$\frac {b}{a+1}$＜1，

故-3≤$\frac {-b}{a-1}$＜-2，0＜$\frac {b}{a+1}$＜1，这三个整数解必为-2，-1，0

2(a-1)＜b≤3 (a-1)，

注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．

故要满足题设条件，只需要2(a-1)＜1+a＜3(a-1)即可，则

b＞2a-2

b＜3a-3

又0＜b＜1+a

故 1+a＞2a-2

3a-3＞0

解得1＜a＜3，综上1＜a＜3．

故选C．

点评：

本小题考查解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题．

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2填空题

整数k使关于x的不等式组$\left\{\begin{matrix}x-x-2＞0 \ x+(3-k)x-3k＜0 \ \end{matrix}\right.$解集中的整数只有-2，则由k的值组成的集合为{，，，，}(按从小到大顺序填写答案)．

填空题答案仅供参考

题目答案

-10123

答案解析

分析：

首先确定不等式组的解集，先利用含k的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解得情况可以得到关于k的不等式，从而求出k的集合．

解答：

解：因为不等式组 $\left\{\begin{matrix}x-x-2＞0 \ x+(3-k)x-3k＜0 \ \end{matrix}\right.$解集中的整数只有-2，

所以$\left\{\begin{matrix}x＜-1或x＞2 \ -3＜x＜k \ \end{matrix}\right.$

又因为解集中有且只有一个整数解-2，

结合图形，则：

-2＜k≤3，又k∈Z

k的值组成的集合为：{-1，0，1，2，3}．

故答案为：{-1，0，1，2，3}

点评：

本小题主要考查不等式的综合、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

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3单选题

关于x的不等式ax-b＞0的解集为(2，+∞)，则关于x的不等式$\frac {ax+b}{x-3}$＞0的解集为（　　）

A
(-2，3)
B
(-∞，-2)∪(3，+∞)
C
(2，3)
D
(-∞，-3)∪(2，+∞)

题目答案

B

答案解析

分析：

根据所给的不等式的解集，看出不等式中两个字母系数之间的关系，利用穿根得到结果．

解答：

解：因为x的不等式ax-b＞0的解集为(2，+∞)，

所以a大于0，b=2a，

所以关于x的不等式$\frac {ax+b}{x-3}$＞0的解集可以利用穿根得到结果是(-∞，-2)∪(3，+∞)

故选B

点评：

本题考查分式不等式的解法和一元一次不等式的解法，本题解题的关键是看出a，b之间的关系．

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4单选题

关于x的不等式x-(a+1)x+a＜0的解集中恰有3个整数解，则a的取值范围是(      )

A
[-3，-2)∪(4，5]
B
[-3，-1)∪(3，5]
C
[-3，-1)∪(4，5]
D
[-3，-2)∪(3，5]

题目答案

A

答案解析

分析：

利用一元二次不等式的解法，解不等式，根据不等式的解集中恰有3个整数解，确定解集的取值范围，即可求解．

解答：

解：由x-(a+1)x+a＜0，

得(x-1)(x-a)＜0，

若a=1，则不等式无解．

若a＞1，则不等式的解为1＜x＜a，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为x=2，3，4，则4＜a≤5．

若a＜1，则不等式的解为a＜x＜1，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为x=0，=-1，-2，则-3≤a＜-2．

综上，满足条件的a的取值范围是[-3，-2)∪(4，5]．

故答案为：[-3，-2)∪(4，5]，所以选A．

点评：

本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，考查学生分析问题，解决问题的能力．

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5单选题

若关于x的不等式ax-b＞0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式$\frac {ax+b}{x-2}$＞0的解集是（　　）

A
(-∞，-1)∪(2，+∞)
B
(-1，2)
C
(-1，2)
D
(-∞，1)∪(2，+∞)

题目答案

A

答案解析

分析：

关于x的不等式ax-b＞0的解集是(1，+∞)，可解得a=b＞0，然后解分式不等式即可．

解答：

解：因为不等式ax-b＞0的解集是(1，+∞)，所以a=b＞0，

所以$\frac {ax+b}{x-2}$＞0等价于(x+1)(x-2)＞0，

所以x＜-1或x＞2

故选A．

点评：

本题考查了一次不等式与分式不等式的求解能力，分式不等式的解法，是基础题．

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6单选题

关于x的不等式x-(2m+1)x+m_+m＜0的解集为(       )

A
(m，m+1)
B
(m-1，m+1)
C
(m-1，m)
D
(m，m+2)

题目答案

A

答案解析

分析：

已知不等式即 (x-m)(x-m-1)＜0，由此求出它的解集．

解答：

解：关于x的不等式x-(2m+1)x+m_+m＜0 即 (x-m)(x-m-1)＜0，解得 m＜x＜m+1，

故答案为 (m，m+1)，选A．

点评：

本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．

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7单选题

已知：函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}a-x，x≤0 \ a，x＞0 \ \end{matrix}\right.$(a＞0)．不等式：$\frac {f(x)}{x-2}$＜1的解集是(      )

A
{x|x＜2，或x＞a+2}
B
{x|x＞a+2}
C
{x|x＜2}
D
{x|x＜1，或x＞a+1}

题目答案

A

答案解析

分析：

根据x的范围，解析式的不同，分别求解不等式$\frac {f(x)}{x-2}$＜1．

解答：

解：1)当x≤0时，即解$\frac {a-x}{x-2}$＜1，

即$\frac {x-$\frac {a+2}{2}$}{x-2}$＞0，不等式恒成立，即x≤0；

2)当x＞0时，即解$\frac {a}{x-2}$＜1，即$\frac {x-(a+2)}{x-2}$＞0，

因为a+2＞2，所以2＞x或x＞a+2．

由1)，2)得，原不等式解集为{x|x＜2或x＞a+2}，所以选A．

点评：

本题考查分式不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题．

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8填空题

已知关于x的不等式(ax-a_-4)(x-4)＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

-2

答案解析

分析：

根据已知关于x的不等式(ax-a_-4)(x-4)＞0，对字母a进行分类讨论：①a＜0时，[x-(a+$\frac {4}{a}$)](x-4)＜0，其中a+$\frac {4}{a}$＜0，故解集为(a+$\frac {4}{a}$，4)，利用基本不等式得出a+$\frac {4}{a}$的最大值为-4，从而A中共含有最少个整数，求得此时实数a的值；②a=0时，-4(x-4)＞0，解集为(-∞，4)，整数解有无穷多，不符合条件； ③a＞0时，[x-(a+$\frac {4}{a}$)](x-4)＞0，此时整数解有无穷多，不符合条件．

解答：

解：已知关于x的不等式(ax-a_-4)(x-4)＞0，

①a＜0时，[x-(a+$\frac {4}{a}$)](x-4)＜0，其中a+$\frac {4}{a}$＜0，

故解集为(a+$\frac {4}{a}$，4)，

由于a+$\frac {4}{a}$=-(-a-$\frac {4}{a}$)≤-2$\sqrt {}$=-4，

当且仅当-a=-$\frac {4}{a}$，即a=-2时取等号，

∴a+$\frac {4}{a}$的最大值为-4，当且仅当a+$\frac {4}{a}$=-4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为-2；

②a=0时，-4(x-4)＞0，解集为(-∞，4)，整数解有无穷多，故a=0不符合条件；

③a＞0时，[x-(a+$\frac {4}{a}$)](x-4)＞0，其中a+$\frac {4}{a}$≥4，

∴故解集为(-∞，4)∪(a+$\frac {4}{a}$，+∞)，整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；

综上所述，a=-2．

故答案为：-2．

点评：

本小题主要考查一元二次不等式的应用、元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．

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9单选题

已知关于x的不等式ax-b＜0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式$\frac {ax+b}{x-2}$＞0的解集是(       )

A
(-3，2)
B
(1，2)
C
(-2，2)
D
(-1，2)

题目答案

D

答案解析

分析：

关于x的不等式ax-b＜0的解集是(1，+∞)，可得 $\frac {b}{a}$=1且a＜0，由此对于x的不等式$\frac {ax+b}{x-2}$＞0求解即可．

解答：

解：由题意关于x的不等式ax-b＜0的解集是(1，+∞)，可得$\frac {b}{a}$=1且a＜0，

关于x的不等式$\frac {x+1}{x-2}$＜0，可变为(x-2)(x+1)＜0，即得(x-2)(x+1)＜0，

∴-1＜x＜2

不等式的解集：(-1，2)

故答案为：(-1，2)，选D．

点评：

本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax-b＜0的解集是(1，+∞)，解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式．考查转化思想．

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10单选题

关于x的不等式mx-(2m+1)x+(m-1)≥0的解集为非空集合，则m的取值范围为（　　）.

A
[-$\frac {1}{8}$，+∞)
B
(-$\frac {1}{8}$，+∞)
C
[-$\frac {1}{6}$，+∞)
D
(-$\frac {1}{6}$，+∞)

题目答案

A

答案解析

分析：

当m=0时，不等式可化为-x-1≥，显然恒成立；当m＞0时，由于△=[-(2m+1)]_-4m(m-1)=8m+1＞0，不等式mx-(2m+1)x+(m-1)≥0的解集为非空集合；当m＜0时，△=8m+1≥0，即0＞m≥-$\frac {1}{8}$，不等式mx-(2m+1)x+(m-1)＞0的解集为非空集合．最后综合讨论结果，可得答案．

解答：

解：当m=0时，不等式可化为-x-1≥0即x≤-1，显然解集为非空集合，

当m＞0时，△=[-(2m+1)]_-4m(m-1)=8m+1＞0，不等式mx-(2m+1)x+(m-1)＞0的解集为非空集合，

当m＜0时，△=[-(2m+1)]_-4m(m-1)=8m+1≥0，即0＞m≥-$\frac {1}{8}$，不等式mx-(2m+1)x+(m-1)＞0的解集为非空集合，

综上所述，m的取值范围是[-$\frac {1}{8}$，+∞),故选A．

点评：

本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，其中解答时易忽略m=0时，不等式可化为-x-1≥0，满足条件而错解．

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11单选题

不等式ax^{2}+(a+1)x+1＜0的解集不是空集，则a的范围是( )

A
a≠1
B
0＜a＜1
C
a＞1
D
a＜-1

题目答案

A

答案解析

分析：

针对a＞0，a=0，a＜0进行分类讨论，分别由不等式和方程的关系可得a的范围，最后取并集即可得到a的取值范围．

解答：


点评：

本题考查一元二次不等式的解法．注意问题的等价转化和分类讨论的思想，二次函数的问题经常会利用函数图象进行处理，属于基础题．

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