《log_af(x)的单调区间》log_af(x)的单调区间 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《log_af(x)的单调区间》log_af(x)的单调区间

1单选题

函数f(x)=log _$\frac {1}{2}$(x-4)的单调递增区间为（　　）

A
(0，+∞)
B
(-∞，0)
C
(2，+∞)
D
(-∞，-2)

题目答案

D

答案解析

分析：

令t=x-4＞0，求得函数f(x)的定义域为(-∞，-2)∪(2，+∞)，且函数f(x)=g(t)=log _$\frac {1}{2}$t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在(-∞，-2)∪(2，+∞) 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在(-∞，-2)∪(2，+∞) 上的减区间．

解答：

解：令t=x-4＞0，可得 x＞2，或 x＜-2，

故函数f(x)的定义域为(-∞，-2)∪(2，+∞)，

且函数f(x)=g(t)=log _$\frac {1}{2}$t．

根据复合函数的单调性，本题即求函数t在(-∞，-2)∪(2，+∞) 上的减区间．

再利用二次函数的性质可得，函数t在(-∞，-2)∪(2，+∞) 上的减区间为(-∞，-2)，

故选：D．

点评：

本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．

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2单选题

若函数f(x)=log_a(2x+x)(a＞0，a≠1)在区间(0，$\frac {1}{2}$)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是（　　）

A
(-∞，-$\frac {1}{4}$)
B
(-$\frac {1}{4}$，+∞)
C
(-∞，-$\frac {1}{2}$)
D
(0，+∞)

题目答案

C

答案解析

分析：

先求出2x+x，x∈(0，$\frac {1}{2}$)时的范围，再由条件f(x)＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f(x)单调区间．

解答：

解：当x∈(0，$\frac {1}{2}$)时，2x+x∈(0，1)，∴0＜a＜1，

∵函数f(x)=log_a(2x+x)(a＞0，a≠1)由f(x)=log_at和t=2x+x复合而成，

0＜a＜1时，f(x)=log_at在(0，+∞)上是减函数，所以只要求t=2x+x＞0的单调递减区间．

t=2x+x＞0的单调递减区间为(-∝，-$\frac {1}{2}$)，∴f(x)的单调增区间为(-∝，-$\frac {1}{2}$)，

故选C．

点评：

本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．

纠错重做

3单选题

函数y=log_$\frac {1}{3}$(6-x-x)的单调递增区间是（　　）

A
[-$\frac {1}{2}$，+∞)
B
[-$\frac {1}{2}$，2)
C
(-∞，-$\frac {1}{2}$]
D
(-3，-$\frac {1}{2}$]

题目答案

B

答案解析

分析：

先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间．

解答：

解：要使函数有意义，则6-x-x_＞0，解得-3＜x＜2，故函数的定义域是(-3，2)，

令t=-x-x+6=-(x+$\frac {1}{2}$)_+$\frac {25}{4}$，则函数t在(-3，-$\frac {1}{2}$)上递增，在[-$\frac {1}{2}$，2)上递减，

又因函数y=_$\frac {1}{3}$在定义域上单调递减，

故由复合函数的单调性知y=log_$\frac {1}{3}$(6-x-x)的单调递增区间是[-$\frac {1}{2}$，2)．

故选B．

点评：

本题的考点是复合函数的单调性，对于对数函数需要先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．

纠错重做

4单选题

函数f(x)=log_a(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A
0＜a＜1
B
1＜a＜2
C
1＜a
D
a＜2

题目答案

B

答案解析

分析：

先将函数f(x)=log_a(2-ax)转化为y=log_at，t=2-ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．

解答：

解：令y=log_at，t=2-ax，

(1)若0＜a＜1，则函y=log_at是(0，+∞)上的减函数，

而t为[0，1]上的减函数，

此时f(x)不会是[0，1]上的减函数．

(2)若a＞1，则函y=log_at是(0，+∞)上的增函数，

只需t为[0，1]上的减函数，且t＞0在[0，1]上恒成立，

即a＞0且2-a×1＞0

此时，1＜a＜2，

综上：实数a 的取值范围是(1，2)

故选B．

点评：

本题主要考查复合函数单调性的判断方法及其应用，本题的关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围考察了分类讨论的思想．

纠错重做

5单选题

若函数y=log_a(x-ax+2)在区间(-∞，1]上为减函数，则a的取值范围是（　　）

A
(0，1)
B
[2，+∞)
C
[2，3)
D
(1，3)

题目答案

C

答案解析

分析：

先确定a＞1，再转化为t=x-ax+2在区间(-∞，1]上为减函数，且t＞0，即可求得a的取值范围．

解答：

解：若0＜a＜1，则函数y=log_a(x-ax+2)在区间(-∞，1]上为增函数，不符合题意；

若a＞1，则t=x-ax+2在区间(-∞，1]上为减函数，且t＞0

∴$\left\{\begin{matrix}$\frac {a}{2}$≥1 \ 1-a+2＞0 \ \end{matrix}\right.$，2≤a＜3

即a的取值范围是[2，3)

故选C．

点评：

本题考查函数的单调性，考查对数函数，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．

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6单选题

已知函数f(x)=log$_4$(2x+3-x)，则函数f(x)的定义域和值域分别为(      )．

A
(-1,3)；(-∞，1]
B
[-1,3)；(-∞，1)
C
[-1,3]；(-∞，1]
D
(-1,3]；(-∞，1]

题目答案

A

答案解析

分析：

(1)由题意可得2x+3-x_＞0，解不等式可求函数f(x)的定义域

(2)要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=22x+3-x_在定义域内的单调区间即可

(3)要求函数f(x)的最大，只要求t=2x+3-x_最大值，进而可求函数的值域

解答：

解：(1)∵2x+3-x_＞0．

∴-1＜x＜3．

∴函数f(x)的定义域为(-1，3)．

(2)令t=2x+3-x_，则函数t在(-1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．

∵y=log$_4$t在(0，+∞)单调递增．

∴函数f(x)在(-1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．

(3)由(2)的单调性可知，当x=1时，函数f(x)有最大值1，此时x=1．

函数的值域为(-∞，1]，故选A.

点评：

本题主要考查了对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调性及函数的值域的求解，求解单调区间时不要漏掉对函数定义域的考虑．

纠错重做

7单选题

函数y=log_a(2-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（　　）

A
(0，1)
B
(0，2)
C
(1，2)
D
(2，+∞)

题目答案

C

答案解析

分析：

a＞0⇒2-ax在[0，1]上是减函数，由复合函数的单调性可得a＞1，在利用对数函数的真数必须大于0可解得a的取值范围．

解答：

解：∵a＞0，

∴2-ax在[0，1]上是减函数．

∴y=log_au应为增函数，且u=2-ax在[0，1]上应恒大于零．

∴$\left\{\begin{matrix}a＞1 \ 2-a＞0. \ \end{matrix}\right.$

∴1＜a＜2．

故答案为：C．

点评：

本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的新函数的单调性，复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同，复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数．

纠错重做

8单选题

函数y=lg(-x+4x)的单调递增区间是（　　）

A
(-∞，2]
B
(0，2]
C
[2，+∞)
D
[2，4)

题目答案

B

答案解析

分析：

由复合函数的单调性可得，本题函数t=-x+4x大于零时的增区间，再利用二次函数的性质求出t=-x+4x大于零时的增区间．

解答：

解：函数y=lg(-x+4x)的单调递增区间即为函数t=-x+4x大于零时的增区间，

由t=-x+4x＞0解得 0＜x＜4，再由二次函数t=-x+4x的对称轴为x=2，开口向下可得

函数t=-x+4x大于零时的增区间为(0，2]．

故选B．

点评：

本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性以及二次函数的性质，属于中档题

纠错重做

9单选题

函数y=log_0.6(6+x-x)的单调增区间是（　　）

A
(-∞，$\frac {1}{2}$]
B
[$\frac {1}{2}$，+∞)
C
(-2，$\frac {1}{2}$]
D
[$\frac {1}{2}$，3)

题目答案

D

答案解析

分析：

先求函数的定义域，要求函数y=log_0.6(6+x-x)的单调增区间，只要求解函数g(x)=6+x-x_在定义域上的单调递减区间即可

解答：

解：由题意可得，6+x-x_＞0

∴函数的定义域为-2＜x＜3

令g(x)=6+x-x_，y=log_0.6g(x)

∵y=log_0.6g(x)在(0，+∞)上单调递减，而g(x)=6+x-x_在(-2，$\frac {1}{2}$]上单调递增，在[$\frac {1}{2}$，3)上单调递减

由复合函数的单调性可知，函数y=log_0.6(6+x-x)的单调增区间[$\frac {1}{2}$，3)

故选D

点评：

本题主要考查了由对数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是复合函数单调性原则的应用，但不要漏掉函数定义域的求解

纠错重做

10单选题

已知a＞0且a≠1，若函数f(x)=log_a(ax-x)在区间[3，4]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（　　）

A
($\frac {1}{3}$，1)
B
(1，+∞)
C
[$\frac {1}{8}$，$\frac {1}{3}$]∪(1，+∞)
D
[$\frac {1}{8}$，$\frac {1}{4}$]∪(1，+∞)

题目答案

A

答案解析

分析：

令g(x)=ax-x，则当a＞1时，g(x)在[3，4]上单调递减，且g(x)＞0，利用二次函数的性质求得实数a的取值范围．当0＜a＜1时，g(x)在[3，4]上单调递增，且g(x)＞0，再利用二次函数的性质求得实数a的取值范围，最后把这两个a的取值范围取并集，即得所求．

解答：

解：令g(x)=ax-x(a＞0，且a≠1)，则当a＞1时，g(x)在[3，4]上单调递减，且g(x)＞0．

∴4≤$\frac {1}{2a}$，且 g(4)＞0． 解得 a无解．

则当0＜a＜1时，g(x)在[3，4]上单调递增，且g(x)＞0．

∴$\frac {1}{2a}$≤3，且 g(3)＞0． 解得 a＞$\frac {1}{3}$，∴1＞a＞$\frac {1}{3}$．

综上可得，实数a的取值范围为($\frac {1}{3}$，1)，

故选A．

点评：

本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

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11单选题

函数f(x)=log_a(6-ax)在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（　　）

A
(0，1)
B
(1，3)
C
(1，3]
D
[3，+∞)

题目答案

B

答案解析

分析：

由已知中f(x)=log_a(6-ax)在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．

解答：

解：若函数f(x)=log_a(6-ax)在[0，2]上为减函数，

则$\left\{\begin{matrix}a＞1 \ 6-2a＞0 \ \end{matrix}\right.$

解得a∈(1，3)

故选B

点评：

本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键．

纠错重做

12单选题

若实数a满足a＞|y-1|-|y-2|(y∈R)恒成立，则函数f(x)=log_a(x-5x+6)的单调减区间为（　　）

A
($\frac {5}{2}$，+∞)
B
(3，+∞)
C
(-∞，$\frac {5}{2}$)
D
(-∞，2)

题目答案

D

答案解析

分析：

构造函数g(y)=|y-1|-|y-2|=$\left\{\begin{matrix}1 y≥2 \ 2y-3 1＜y＜ \ -1 y＜1 \ \end{matrix}\right.$2，做出函数的图象，结合图象可知函数的最大值1，由a＞|y-1|-|y-2|(y∈R)恒成立⇔a＞g(y)_max ，从而可得a＞1，然后求出函数f(x)=log_a(x-5x+6)的定义域为{x|x＞3，或x＜2}，由t=x-5x+6及y=log_at的单调性结合复合函数的单调性可求函数f(x)单调递减区间

解答：

解：令g(y)=|y-1|-|y-2|=$\left\{\begin{matrix}1 y≥2 \ 2y-3 1＜y＜ \ -1 y＜1 \ \end{matrix}\right.$2则函数的图象如下图，由图可知函数的最大值1

由a＞|y-1|-|y-2|(y∈R)恒成立可知a＞g(y)_max，a＞1

函数f(x)=log_a(x-5x+6)的定义域为{x|x＞3，或x＜2}

令t=x-5x+6在(-∞，2]上单调递减，在[3，+∞)单调递增

y=log_at在(0，+∞)单调递增

由复合函数的单调性可知，函数f(x)在(-∞，2)单调递减

故选：D

点评：

(1)解决(1)的关键是a＞|y-1|-|y-2|(y∈R)恒成立⇔a＞g(y)_max，体现了等价转化的思想及数形结合的思想(2)本题求解复合函数的单调区间时一定要注意先求函数定义域，这也是考生容易漏掉的解答，不要把单调区间误写为：(-∞，$\frac {5}{2}$)，($\frac {5}{2}$，+∞)要注意函数的单调区间一定要在函数有意义的条件下讨论．

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