《椭圆的离心率》椭圆的离心率

1单选题

设椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左右焦点为F$_1$，F$_2$，过F$_2$作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F$_1$B与y轴相交于点D，若AD⊥F$_1$B，则椭圆C的离心率等于( )

$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F$_1$B，建立方程关系即可得到结论．

解答：

解：不妨假设椭圆中的a=1，则F$_1$(-c，0)，F$_2$(c，0)，

当x=c时，由$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1得y=±$\frac {b}{a}$=±b_，即A(c，b_)，B(c，-b_)，

设D(0，m)，∵F$_1$，D，B三点共线，

∴$\frac {m}{c}$=$\frac {b}{-2c}$，解得m=-$\frac {b}{2}$，即D(0，-$\frac {b}{2}$)，

∴若AD⊥F$_1$B，

则k_AD•k_F$_1$B=-1，

即$\frac {b_+$\frac {b}{2}$}{c}$•$\frac {-b}{-c-c}$=-1，

即3b_=4c_，

则$\sqrt {3}$b_=2c=$\sqrt {3}$(1-c_)=2c，

即$\sqrt {3}$c_+2c-$\sqrt {3}$=0，

解得c=$\frac {-2±$\sqrt {}$}{2$\sqrt {3}$}$=$\frac {-2±4}{2$\sqrt {3}$}$，

则c=$\frac {-2+4}{2$\sqrt {3}$}$=$\frac {2}{2$\sqrt {3}$}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

∵a=1，

∴离心率e=$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

故答案为：$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，选D．

点评：

本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．

2单选题

从椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F$_1$，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是（　　）

$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

依题意，可求得点P的坐标P(-c，$\frac {b}{a}$)，由AB∥OP⇒k_AB=k_OP⇒b=c，从而可得答案．

解答：

解：依题意，设P(-c，y_0)(y_0＞0)，

则$\frac {(-c)}{a}$+$\frac {y_0}{b}$=1，

∴y_0=$\frac {b}{a}$，

∴P(-c，$\frac {b}{a}$)，

又A(a，0)，B(0，b)，AB∥OP，

∴k_AB=k_OP，即$\frac {b}{-a}$=$\frac {$\frac {b}{a}$}{-c}$=$\frac {b}{-ac}$，

∴b=c．

设该椭圆的离心率为e，则e_=$\frac {c}{a}$=$\frac {c}{b_+c}$=$\frac {c}{2c}$=$\frac {1}{2}$，

∴椭圆的离心率e=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$．

故选C．

点评：

本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标(-c，$\frac {b}{a}$)是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

3单选题

已知椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=$\frac {4}{5}$，则C的离心率为（　　）

$\frac {3}{5}$

$\frac {5}{7}$

$\frac {4}{5}$

$\frac {6}{7}$

题目答案

答案解析

分析：

在△AFB中，由余弦定理可得|AF|_=|AB|_+|BF|_-2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，设F_为椭圆的右焦点，连接BF_，AF_．根据对称性可得四边形AFBF_是矩形．

即可得到a，c，进而取得离心率．

解答：

解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|_=|AB|_+|BF|_-2|AB||BF|cos∠ABF，

∴6_=10_+|BF|_-20|BF|×$\frac {4}{5}$，化为(|BF|-8)_=0，解得|BF|=8．

设F_为椭圆的右焦点，连接BF_，AF_．根据对称性可得四边形AFBF_是矩形．

∴|BF_|=6，|FF_|=10．

∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．

∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {5}{7}$．

故选B．

点评：

熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键．

4填空题

已知椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=$\frac {4}{5}$，则C的离心率e=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {5}{7}$

答案解析

分析：

设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|_+|BF|_=|AB|_，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=$\frac {1}{2}$|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．

解答：

解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'

∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6

∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=$\frac {4}{5}$，

∴由余弦定理|AF|_=|AB|_+|BF|_-2|AB|×|BF|cos∠ABF，

可得6_=10_+|BF|_-2×10×|BF|×$\frac {4}{5}$，解之得|BF|=8

由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7

∵△ABF中，|AF|_+|BF|_=100=|AB|_

∴∠AFB=90°，可得|OF|=$\frac {1}{2}$|AB|=5，即c=5

因此，椭圆C的离心率e=$\frac {c}{a}$=$\frac {5}{7}$

故答案为：$\frac {5}{7}$

点评：

本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．

5单选题

椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F$_1$，F$_2$．若|AF$_1$|，|F$_1$F$_2$|，|F$_1$B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）

$\frac {1}{4}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {1}{2}$

$\sqrt {5}$-2

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得，|AF$_1$|=a-c，|F$_1$F$_2$|=2c，|F$_1$B|=a+c，由|AF$_1$|，|F$_1$F$_2$|，|F$_1$B|成等比数列可得到e_=$\frac {c}{a}$=$\frac {1}{5}$，从而得到答案．

解答：

解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF$_1$|=a-c，|F$_1$F$_2$|=2c，|F$_1$B|=a+c，

∵|AF$_1$|，|F$_1$F$_2$|，|F$_1$B|成等比数列，

∴(2c)_=(a-c)(a+c)，

∴$\frac {c}{a}$=$\frac {1}{5}$，即e_=$\frac {1}{5}$，

∴e=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$，即此椭圆的离心率为$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$．

故选B．

点评：

本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|AF$_1$|，|F$_1$F$_2$|，|F$_1$B|是关键，属于基础题．

6单选题

设F$_1$、F$_2$是椭圆E：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x=$\frac {3a}{2}$上一点，△F$_2$PF$_1$是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {2}{3}$

$\frac {3}{4}$

$\frac {4}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

利用△F$_2$PF$_1$是底角为30°的等腰三角形，可得|PF$_2$|=|F$_2$F$_1$|，根据P为直线x=$\frac {3a}{2}$上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．

解答：

解：∵△F$_2$PF$_1$是底角为30°的等腰三角形，

∴|PF$_2$|=|F$_2$F$_1$|

∵P为直线x=$\frac {3a}{2}$上一点

∴2($\frac {3}{2}$a-c)=2c

∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {3}{4}$

故选C．

点评：

本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．

7单选题

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）

$\frac {4}{5}$

$\frac {3}{5}$

$\frac {2}{5}$

$\frac {1}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．

解答：

解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，

则2a+2c=2×2b，

即a+c=2b⇒(a+c)_=4b_=4(a_-c_)，所以3a_-5c_=2ac，同除a_，

整理得5e_+2e-3=0，∴e=$\frac {3}{5}$或e=-1(舍去)，

故选B．

点评：

本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．

8单选题

过椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左焦点F$_1$作x轴的垂线交椭圆于点P，F$_2$为右焦点，若∠F$_1$PF$_2$=60°，则椭圆的离心率为（　　）

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {1}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

把x=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F$_1$PF$_2$=60°推断出$\frac {2c}{$\frac {b}{a}$}$=$\sqrt {3}$整理得$\sqrt {3}$e_+2e-$\sqrt {3}$=0，进而求得椭圆的离心率e．

解答：

解：由题意知点P的坐标为(-c，$\frac {b}{a}$)或(-c，-$\frac {b}{a}$)，

∵∠F$_1$PF$_2$=60°，

∴$\frac {2c}{$\frac {b}{a}$}$=$\sqrt {3}$，

即2ac=$\sqrt {3}$b_=$\sqrt {3}$(a_-c_)．

∴$\sqrt {3}$e_+2e-$\sqrt {3}$=0，

∴e=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$或e=-$\sqrt {3}$(舍去)．

故选B．

点评：

本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力．

9单选题

如图，在平面直角坐标系xoy中，A$_1$，A$_2$，B$_1$，B$_2$为椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A$_1$B$_2$与直线B$_1$F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为( )

2-$\sqrt {3}$

2$\sqrt {7}$-5

4-2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$-1

题目答案

答案解析

分析：

解法一：可先直线A$_1$B$_2$的方程为$\frac {x}{-a}$+$\frac {y}{b}$=1，直线B$_1$F的方程为$\frac {x}{c}$+$\frac {y}{-b}$=1，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；

解法二：对椭圆进行压缩变换，x_=$\frac {x}{a}$，y_=$\frac {y}{b}$，椭圆变为单位圆：x+y_=1，F'($\frac {c}{a}$，0)．根据题设条件求出直线B$_1$T方程，直线B$_1$T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．

解答：

解法一：由题意，可得直线A$_1$B$_2$的方程为$\frac {x}{-a}$+$\frac {y}{b}$=1，直线B$_1$F的方程为$\frac {x}{c}$+$\frac {y}{-b}$=1

两直线联立则点T($\frac {2ac}{a-c}$，$\frac {b(a+c)}{(a-c)}$)，则M($\frac {ac}{a-c}$，$\frac {b(a+c)}{2(a-c)}$)，由于此点在椭圆上，故有

$\frac {c}{(a-c)}$+$\frac {(a+c)}{4(a-c)}$=1，整理得3a_-10ac-c_=0

即e_+10e-3=0，解得e=2$\sqrt {7}$-5

故答案为e=2$\sqrt {7}$-5

解法二：对椭圆进行压缩变换，x_=$\frac {x}{a}$，y_=$\frac {y}{b}$，

椭圆变为单位圆：x+y_=1，F'($\frac {c}{a}$，0)．

延长TO交圆O于N，易知直线A$_1$B$_2$斜率为1，TM=MO=ON=1，A$_1$B$_2$=$\sqrt {2}$，

设T(x′，y′)，则TB$_2$=$\sqrt {2}$x_，y′=x′+1，

由割线定理：TB$_2$×TA$_1$=TM×TN，$\sqrt {2}$x_($\sqrt {2}$x+$\sqrt {2}$) =1×3，

x_=$\frac {$\sqrt {7}$-1}{2}$(负值舍去)，y_=$\frac {$\sqrt {7}$+1}{2}$

易知：B$_1$(0，-1)，直线B$_1$T方程：$\frac {y+1}{x}$=$\frac {$\frac {$\sqrt {7}$+1}{2}$+1}{$\frac {$\sqrt {7}$-1}{2}$}$

令y′=0

x_=2$\sqrt {7}$-5，即F横坐标

即原椭圆的离心率e=$\frac {c}{a}$=2$\sqrt {7}$-5．

故答案：2$\sqrt {7}$-5，所以选B．

点评：

本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

10单选题

若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）

$\frac {1}{4}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

依题意，作图分析，利用椭圆的性质即可求得答案．

解答：

解：不妨设椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴，左焦点为F$_1$，短轴的两个顶点分别为B与B′，

∵△BF$_1$B′为等边三角形，|OF$_1$|=c，|OB|=b，|BF$_1$|=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=a，

又b=$\frac {1}{2}$a，

∴c=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a，

∴该椭圆离心率e=$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$．

故选：D．

点评：

本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆中a、b、c之间的关系与其离心率，属于中档题．

11单选题

已知点F$_1$、F$_2$分别是椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1的左、右焦点，过F$_1$且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF$_2$为正三角形，则该椭圆的离心率e是（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {1}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出 AF$_1$ 的长，直角三角形AF$_1$F$_2$ 中，由边角关系得 tan30°=$\frac {AF$_1$}{F$_1$F$_2$}$=$\frac {$\frac {b}{a}$}{2c}$，建立关于离心率的方程，

解方程求出离心率的值．

解答：

解：把x=-c代入椭圆的方程可得y=$\frac {b}{a}$，

∴AF$_1$ =$\frac {b}{a}$，

由tan30°=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$=$\frac {AF$_1$}{F$_1$F$_2$}$=$\frac {$\frac {b}{a}$}{2c}$=$\frac {a_-c}{2ac}$=$\frac {1-e}{2e}$，

求得 3e_+2$\sqrt {3}$e-3=0，

解得 e=-$\sqrt {3}$(舍去)，或e=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

故选D．

点评：

本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题．

12单选题

已知F是椭圆$\frac {x^{2}}{a^{2}}$+$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞b＞0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是(　　)

$\frac {\sqrt {2}}{2}$

$\frac {\sqrt {2}}{4}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {\sqrt {3}}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先把x=c代入椭圆方程求得y，进而求得|PF|，根据OP∥AB，PF∥OB推断出△PFO∽△ABO，进而根据相似三角形的性质求得$\frac {|PF|}{|OF|}$=$\frac {|OB|}{|OA|}$求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．

解答：

解：把x=c代入椭圆方程求得y=±$\frac {b}{a}$∴|PF|=$\frac {b}{a}$∵OP∥AB，PF∥OB∴△PFO∽△ABO∴$\frac {|PF|}{|OF|}$=$\frac {|OB|}{|OA|}$，即$\frac {\frac {b}{a}}{c}$=$\frac {b}{a}$，求得b=c∴a=$\sqrt {2}$c∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {\sqrt {2}}{2}$故选A

点评：

本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．

13单选题

已知F$_1$，F$_2$分别是椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左、右焦点，以原点O为圆心、OF$_1$为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F$_2$AB为等边三角形，则椭圆的离心率为( )

2-$\sqrt {3}$

2$\sqrt {3}$-3

4-2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$-1

题目答案

答案解析

分析：

根据30度角，利用三边关系，表示出AF$_1$和AF$_2$，利用椭圆性质解题．

解答：

解：由题意可知∠AF$_2$F$_1$=30°，

∴AF$_1$=$\frac {1}{2}$F$_1$F$_2$=c，AF$_2$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$F$_1$F$_2$=$\sqrt {3}$c；

∴AF$_2$+AF$_1$=($\sqrt {3}$+1)c=2a，

∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {2}{$\sqrt {3}$+1}$=$\sqrt {3}$-1，所以选D．

点评：

两种圆锥曲线相交时，从交点的位置入手考虑．

14单选题

在△ABC中，∠A=90_，tanB=$\frac {3}{4}$，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率是（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {1}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

根据条件分别计算，长轴长与焦距长，再利用离心率的定义，可求椭圆的离心率．

解答：

解：由题意，设|AB|=4m，则

∵tanB=$\frac {3}{4}$，∴|AC|=3m

∵∠A=90°，

∴|BC|=5m

∵以A，B为焦点的椭圆经过点C，

∴|CA|+|CB|=8m=2a

∵2c=|AB|=4m

∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {4m}{8m}$=$\frac {1}{2}$

∴该椭圆的离心率是$\frac {1}{2}$

故选A．

点评：

本题重点考查椭圆的离心率，解题的关键是求出椭圆的长轴长与焦距长．

15单选题

已知F$_1$，F$_2$是椭圆$\frac {_}{_}$+$\frac {_}{_}$=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且∠F$_1$PF$_2$=$\frac {π}{2}$，记线段PF$_1$与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F$_1$OQ与四边形OF$_2$PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于（　　）

2-$\sqrt {3}$

2$\sqrt {3}$-3

4-2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$-1

题目答案

答案解析

分析：

先利用PF$_1$与轴的交点为Q，△F$_1$OQ与四边形OF$_2$PQ的面积之比为1：2，点F$_1$(-c，0)，求得点P的坐标，代入椭圆标准方程即可得关于a、b、c的等式，从而求得椭圆离心率

解答：

解：设Q(0，m)，P(x，y)

∵△F$_1$OQ与四边形OF$_2$PQ的面积之比为1：2，

∴△F$_1$OQ与三角形PF$_1$F$_2$的面积之比为1：3

∴$\frac {1}{2}$×c×m=$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$×2c×y，∴m=$\frac {2}{3}$y

又∵$\frac {y}{x+c}$=$\frac {m}{c}$

∴x=$\frac {c}{2}$，

∵∠F$_1$PF$_2$=$\frac {π}{2}$，

∴$\frac {y}{x+c}$× $\frac {y}{x-c}$= -1，即$\frac {y}{$\frac {3}{2}$c}$×$\frac {y}{-$\frac {1}{2}$c}$= -1，

∴y_=$\frac {3}{4}$c_

将x=$\frac {c}{2}$和y_=$\frac {3}{4}$c_代入椭圆方程得：$\frac {_}{_}$+$\frac {$\frac {3}{4}$_}{_}$=1

即e_+$\frac {3e}{1-e}$=4，解得e=$\sqrt {3}$-1

故选 D

点评：

本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，特别是椭圆离心率的求法，利用已知几何条件建立关于a、b、c的等式，是解决本题的关键

16单选题

连接椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点得到的直线方程为x-2y+2=0，则该椭圆的离心率为（　　）

$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {1}{5}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {3$\sqrt {5}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

求出直线x-2y+2=0与x轴和y轴的交点坐标，结合题意可得椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1的左焦点为A(-2，0)、上顶点为B(0，1)．由此算出椭圆的a、b、c之值，即可得到该椭圆的离心率．

解答：

解：对于直线x-2y+2=0，令x=0可得y=1，令y=0可得x=-2．

∴直线x-2y+2=0交x轴于点A(-2，0)，交y轴于点B(0，1)．

又∵椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点

在直线x-2y+2=0上，

∴A(-2，0)是椭圆的左焦点，B(0，1)是椭圆的上顶点．

由此可得c=2且b=1，a=$\sqrt {}$=$\sqrt {5}$，

∴该椭圆的离心率为e=$\frac {c}{a}$=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$．

故选：A

点评：

本题给出椭圆的一个焦点与一个顶点在已知直线上，求椭圆的离心率的值．着重考查了直线的方程、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

17单选题

已知椭圆$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为（　　）

$\frac {\sqrt {5}+1}{2}$

$\frac {\sqrt {5}-1}{2}$

$\frac {\sqrt {5}+1}{4}$

$\frac {\sqrt {5}-1}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

由AB与BF垂直判断出两直线的斜率乘积为-1，进而求得b与a，c的关系，利用a-c=b进而替换消去b，进而求得a和c的关系式，则椭圆的离心率可求．

解答：

解：∵AB⊥BF，

∴$k_{AB}$•$k_{BF}$=-1，即$\frac {b}{a}$•(-$\frac {b}{c}$)=-1，即b=ac，

∴a-c=ac，两边同除以a，得e+$e^{-1}$=0，

∴e=$\frac {-1±sqrt {5}}{2}$(舍负)，

故选B．

点评：

本题主要考查了椭圆的简单性质．应熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，及离心率，准线方程，焦点坐标等基础知识．

18单选题

已知F$_1$，F$_2$是椭圆C的两个焦点，焦距为4．若P为椭圆C上一点，且△PF$_1$F$_2$的周长为14，则椭圆C的离心率e为（　　）

$\frac {1}{5}$

$\frac {2}{5}$

$\frac {4}{5}$

$\frac {$\sqrt {21}$}{5}$

题目答案

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分析：

利用焦距为4，求出c，利用P为椭圆C上一点，且△PF$_1$F$_2$的周长为14，求出a，即可求出椭圆C的离心率e．

解答：

解：∵焦距为4，

∴c=2，

∵P为椭圆C上一点，且△PF$_1$F$_2$的周长为14，

∴2a+2c=14，

∴a=5，

∴椭圆C的离心率e=$\frac {c}{a}$=$\frac {2}{5}$．

故选：B．

点评：

本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

19单选题

已知F$_1$，F$_2$为椭圆的两个焦点，|F$_1$F$_2$|=6，如图△AF$_1$B的顶点A、B在椭圆上，F$_2$在边AB上，其周长为20，则椭圆的离心率为(　　)

$\frac {4}{5}$

$\frac {3}{5}$

$\frac {3}{10}$

$\frac {5}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由椭圆的定义，求出a，再求出c，即可求出椭圆的离心率．

解答：

解：由椭圆的定义，4a=20，∴a=5，又|F$_1$F$_2$|=6，∴2c=6，∴c=3，∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {3}{5}$．故选：B．

点评：

本题考查椭圆的简单几何性质、考查椭圆的定义．属于基础题．

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《椭圆的离心率》椭圆的离心率

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