已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x；设α∈(0，π)，f($\frac {α}{2}$)=$\frac {\sqrt {2}}{2}$，sinα的值为( )
解：∵f(x)=sin2x+cos2x∴f($\frac {α}{2}$)=cosα+sinα=$\frac {\sqrt {2}}{2}$∴sin(α+$\frac {π}{4}$)=$\frac {1}{2}$，cos(α+$\frac {π}{4}$)=±$\frac {\sqrt {3}}{2}$．$sinα=sin(α+\frac {π}{4}-\frac {π}{4})$=$\frac {1}{2}×\frac {\sqrt {2}}{2}∓\frac {\sqrt {3}}{2}×\frac {\sqrt {2}}{2}$=$\frac {\sqrt {2}∓\sqrt {6}}{4}$．∵α∈(0，π)，∴sinα＞0，故sinα=$\frac {\sqrt {2}+\sqrt {6}}{4}$
点评：
本题是三角函数的基础题，要注意角的关系，采用配角法求解，否则，如果想通过解方程组的方法求sinα，会使计算相当复杂．
函数f(x)=sinxcos x+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$cos2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
分析：
f(x)解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．
解答：
解：f(x)=$\frac {1}{2}$sin2x+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$cos2x=sin(2x+$\frac {π}{3}$)，
∵-1≤sin(2x+$\frac {π}{3}$)≤1，∴振幅为1，
∵ω=2，∴T=π．
故选A
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．
已知函数f(x)=4cosωx•sin(ωx+$\frac {π}{4}$)(ω＞0)的最小正周期为π．f(x)在区间[0，$\frac {π}{2}$]上的单调性是( )
分析：
先利用和角公式再通过二倍角公式，降次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；
由于x是[0，$\frac {π}{2}$]范围内的角，得到2x+$\frac {π}{4}$的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f(x)在区间[0，$\frac {π}{2}$]上的单调性．
解答：
解：f(x)=4cosωxsin(ωx+$\frac {π}{4}$)=2$\sqrt {2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt {2}$cos_ωx
=$\sqrt {2}$(sin2ωx+cos2ωx)+$\sqrt {2}$=2sin(2ωx+$\frac {π}{4}$)+$\sqrt {2}$，
所以 T=$\frac {2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
所以f(x)=2sin(2x+$\frac {π}{4}$)+$\sqrt {2}$，
因为0≤x≤$\frac {π}{2}$，所以$\frac {π}{4}$≤2x+$\frac {π}{4}$≤$\frac {5π}{4}$，
当$\frac {π}{4}$≤2x+$\frac {π}{4}$≤$\frac {π}{2}$时，即0≤x≤$\frac {π}{8}$时，f(x)是增函数，
当$\frac {π}{2}$≤2x+$\frac {π}{4}$≤$\frac {5π}{4}$时，即$\frac {π}{8}$≤x≤$\frac {π}{2}$时，f(x)是减函数，
所以f(x)在区间[0，$\frac {π}{8}$]上单调增，在区间[$\frac {π}{8}$，$\frac {π}{2}$]上单调减．
点评：
本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．
已知函数f(x)=$\frac {(sinx-cosx)sin2x}{sinx}$．f(x)的单调递增区间是( )
分析：
通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，(1)直接求出函数的定义域和最小正周期．
(2)利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．
解答：
解：f(x)=$\frac {(sinx-cosx)sin2x}{sinx}$=$\frac {(sinx-cosx)2sinxcosx}{sinx}$=2(sinx-cosx)cosx
=sin2x-1-cos2x=$\sqrt {2}$sin(2x-$\frac {π}{4}$)-1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}
(1)原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．
(2)由2kπ-$\frac {π}{2}$≤2x-$\frac {π}{4}$≤2kπ+$\frac {π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac {π}{8}$≤x≤kπ+$\frac {3π}{8}$，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，
原函数的单调递增区间为[kπ-$\frac {π}{8}$，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+$\frac {3π}{8}$]，k∈Z，所以选A．
点评：
本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力．
已知函数f(x)=(1+cotx)sin_x+msin(x+$\frac {π}{4}$)sin(x-$\frac {π}{4}$)．当tanα=2时，f(α)=$\frac {3}{5}$，m=．
分析：
把f(x)的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f(α)=$\frac {3}{5}$中得到关于m的方程，求出m的值即可．
解答：
解：因为f(x)=(1+$\frac {cosx}{sinx}$)sin_x+msin(x+$\frac {π}{4}$)sin(x-$\frac {π}{4}$)
=sin_x+sinxcosx+$\frac {m(cos$\frac {π}{2}$-cos2x)}{2}$
=$\frac {1-cos2x}{2}$+$\frac {sin2x}{2}$-$\frac {mcos2x}{2}$
=$\frac {1}{2}$[sin2x-(1+m)cos2x]+$\frac {1}{2}$
所以f(α)=$\frac {1}{2}$[sin2α-(1+m)cos2α]+$\frac {1}{2}$=$\frac {3}{5}$①
当tanα=2，得：sin2α=$\frac {2sinαcosα}{sin_α+cos_α}$=$\frac {2tanα}{1+tan_α}$=$\frac {4}{5}$，cos2α=-$\frac {3}{5}$，
代入①式，解得m=-2．
点评：
考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．
若函数f(x)=(1+$\sqrt {3}$tanx)cosx，0≤x＜$\frac {π}{2}$，则f(x)的最大值是（ ）
分析：
先对函数f(x)=(1+$\sqrt {3}$tanx)cosx进行化简，再根据x的范围求最大值．
解答：
解：f(x)=(1+$\sqrt {3}$tanx)cosx=cosx+$\sqrt {3}$sinx=2sin(x+$\frac {π}{6}$)
∵0≤x＜$\frac {π}{2}$，∴$\frac {π}{6}$≤x+$\frac {π}{6}$＜$\frac {2π}{3}$
∴f(x)∈[1，2]
故选B．
点评：
本题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进行化简再求最值，这里一定要注意角的取值范围．
函数f(x)=sin_x+$\sqrt {3}$sinxcosx在区间[$\frac {π}{4}$，$\frac {π}{2}$]上的最大值是（ ）
分析：
先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到f(x)=$\frac {1}{2}$+sin(2x-$\frac {π}{6}$)，然后再求其在区间[$\frac {π}{4}$，$\frac {π}{2}$]上的最大值．
解答：
解：由f(x)=$\frac {1-cos2x}{2}$+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$sin2x=$\frac {1}{2}$+sin(2x-$\frac {π}{6}$)，
∵$\frac {π}{4}$≤x≤$\frac {π}{2}$⇒$\frac {π}{3}$≤2x-$\frac {π}{6}$≤$\frac {5π}{6}$，∴f(x)_max=$\frac {1}{2}$+1=$\frac {3}{2}$．
故选C．
点评：
本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．二倍角公式一般都是反向考查，一定要会灵活运用．
函数y=$\frac {1}{2}$sin2x+sin_x，x∈R的值域是（ ）
分析：
先根据二倍角公式进行化简，再由两角和与差的正弦公式化为y═Asin(ωx+ρ)+b的形式，进而根据正弦函数的性质可得到答案．
解答：
解：y=$\frac {1}{2}$sin2x+sin_x=$\frac {1}{2}$sin2x-$\frac {1}{2}$cos2x+$\frac {1}{2}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$sin(2x-$\frac {π}{4}$)+$\frac {1}{2}$，
故选C．
点评：
本题考查三角函数的性质，基础题．本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y═Asin(ωx+ρ)+b或y═Acos(ωx+ρ)+b的模式
已知函数f(x)=2sin_x+sin2x，x∈[0，2π]．使f(x)为正值的x的集合是( )
分析：
法一：化简函数f(x)=2sin_x+sin2x，令其大于0，结合正弦函数的性质求出x的范围．
法二：可以对函数分解因式，分类讨论函数的正负，求出适合条件的x的范围即可．
解答：
解：法一：∵f(x)=1-cos2x+sin2x(2分)=1+$\sqrt {2}$sin(2x-$\frac {π}{4}$)(4分)
∴f(x)＞0⇔1+$\sqrt {2}$sin(2x-$\frac {π}{4}$)＞0⇔sin(2x-$\frac {π}{4}$)＞-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$(6分)
⇔-$\frac {π}{4}$+2kπ＜2x-$\frac {π}{4}$＜$\frac {5π}{4}$+2kπ(8分)⇔kπ＜x＜$\frac {3π}{4}$+kπ(10分)
又x∈[0，2π]．
∴x∈(0，$\frac {3π}{4}$)∪(π，$\frac {7π}{4}$)(12分)
法二：f(x)=2sin_x+sin2x=2sin_x+2sinxcosx=2sinx(sinx+cosx)
f(x)为正值当且仅当sinx与sinx+cosx同号，
在x∈[0，2π]上，
若sinx与sinx+cosx均为正值，则x∈(0，$\frac {3π}{4}$)；
若sinx与sinx+cosx均为负值，则x∈(π，$\frac {7π}{4}$)
所以所求x的集合为(0，$\frac {3π}{4}$)∪(π，$\frac {7π}{4}$)，所以选B．
点评：
本题考查正弦函数的单调性，两角和与差的正弦函数，考查计算能力，是基础题．
已知函数f(x)=cos_(x+$\frac {π}{12}$)-1，g(x)=$\frac {1}{2}$sin2x，函数h(x)=f(x)+g(x)的值域是( )
分析：
将f(x)与g(x)代入h(x)=f(x)+g(x)中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可求出h(x)的值域．
解答：
解：由题知h(x)=f(x)+g(x)=$\frac {1}{2}$cos(2x+$\frac {π}{6}$)-$\frac {1}{2}$+$\frac {1}{2}$sin2x=$\frac {1}{2}$[cos(2x+$\frac {π}{6}$)+sin2x]-$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{2}$($\frac {$\sqrt {3}$}{2}$cos2x+$\frac {1}{2}$sin2x)-$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{2}$sin(2x+$\frac {π}{3}$)-$\frac {1}{2}$，
∵-1≤sin(2x+$\frac {π}{3}$)≤1，
∴h(x)的值域为[-1，0]．
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．
已知函数f(x)=cos2x+sin2x
；设α，β∈[0，$\frac {π}{2}$]，f($\frac {α}{2}$+$\frac {π}{8}$)=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$，f($\frac {β}{2}$+π)=$\sqrt {2}$，sin(α+β)的值为( )
分析：
函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出函数f(x)，找出ω的值；
化简f(x)解析式及已知的第一个等式，得到sinα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，再由已知的第二个等式，求出β的度数，代入所求式子中利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
解答：
解：∵f(x)=cos2x+sin2x=$\sqrt {2}$($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$cos2x+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$sin2x)=$\sqrt {2}$sin(2x+$\frac {π}{4}$)，
∵ω=2，
∴周期T=$\frac {2π}{2}$=π；
∵f($\frac {α}{2}$+$\frac {π}{8}$)=$\sqrt {2}$sin[2($\frac {α}{2}$+$\frac {π}{8}$)+$\frac {π}{4}$]=$\sqrt {2}$sin(α+$\frac {π}{2}$)=$\sqrt {2}$cosα=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$，
∴cosα=$\frac {$\sqrt {10}$}{4}$，
又α∈[0，$\frac {π}{2}$]，∴sinα=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{4}$，
∵f($\frac {β}{2}$+π)=$\sqrt {2}$sin[2($\frac {β}{2}$+π)+$\frac {π}{4}$]=$\sqrt {2}$sin(β+$\frac {π}{4}$+2π)=$\sqrt {2}$sin(β+$\frac {π}{4}$)=$\sqrt {2}$，
∴sin(β+$\frac {π}{4}$)=1，
∵β∈[0，$\frac {π}{2}$]，∴β+$\frac {π}{4}$∈[$\frac {π}{4}$，$\frac {3π}{4}$]，
∴β+$\frac {π}{4}$=$\frac {π}{2}$，即β=$\frac {π}{4}$，
则sin(α+β)=sin(α+$\frac {π}{4}$)=sinαcos$\frac {π}{4}$+cosαsin$\frac {π}{4}$=$\frac {$\sqrt {3}$+$\sqrt {5}$}{4}$，所以选C．
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正弦函数的定义域与值域，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
已知函数f(x)=2$\sqrt {3}$sinxcosx-2sin_x+a，a∈R．若函数f(x)有零点，实数a的取值范围是( )
分析：
令f(x)=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．
解答：
解：令f(x)=0，即2sin(2x+$\frac {π}{6}$)+a-1=0，
则a=1-2sin(2x+$\frac {π}{6}$)，
∵-1≤sin(2x+$\frac {π}{6}$)≤1，
∴-1≤1-2sin(2x+$\frac {π}{6}$)≤3，
∴若f(x)有零点，则实数a的取值范围是[-1，3]．
点评：
本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题．
已知函数f(x)=2$\sqrt {3}$sin(x+$\frac {π}{4}$)cos(x+$\frac {π}{4}$)+sin2x+a的最大值为1．若将f(x)的图象向左平移$\frac {π}{6}$个单位，得到函数g(x)的图象，函数g(x)在区间[0，$\frac {π}{2}$]上的最大值和最小值分别为( )
分析：
由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+$\frac {π}{3}$)+a≤2+a=1，可得a=-1．令2kπ-$\frac {π}{2}$≤2x+$\frac {π}{3}$≤2kπ+$\frac {π}{2}$，k∈z，求得x的范围，可得函数f(x)的单调递增区间．
(Ⅲ)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得 g(x)=2sin(2x+$\frac {2π}{3}$)-1．再根据x∈[0，$\frac {π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)的最值．
解答：
解：∵函数f(x)=2$\sqrt {3}$sin(x+$\frac {π}{4}$)cos(x+$\frac {π}{4}$)+sin2x+a=$\sqrt {3}$cos2x+sin2x+a=2sin(2x+$\frac {π}{3}$)+a≤2+a=1，
∴a=-1．
令2kπ-$\frac {π}{2}$≤2x+$\frac {π}{3}$≤2kπ+$\frac {π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac {5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac {π}{12}$，故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-$\frac {5π}{12}$，kπ+$\frac {π}{12}$]，k∈z，
(Ⅲ)∴将f(x)的图象向左平移$\frac {π}{6}$个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)=f(x+$\frac {π}{6}$)=2sin[2(x+$\frac {π}{6}$)+$\frac {π}{3}$]-1=2sin(2x+$\frac {2π}{3}$)-1．
当x∈[0，$\frac {π}{2}$]时，2x+$\frac {2π}{3}$∈[$\frac {2π}{3}$，$\frac {5π}{3}$]，故当2x+$\frac {2π}{3}$=$\frac {2π}{3}$时，函数f(x)取得最大值为$\sqrt {3}$-1，
当2x+$\frac {2π}{3}$=$\frac {3π}{2}$时，函数f(x)取得最小值为-2-1=-3．
点评：
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．
函数f(x)=sin$\frac {x}{2}$(sin$\frac {x}{2}$-cos$\frac {x}{2}$)的最小正周期为．
分析：
利用两角和的正弦公式，二倍角公式，把函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+B的形式，最后利用周期公式解之即可．
解答：
解：f(x)=sin$\frac {x}{2}$(sin$\frac {x}{2}$-cos$\frac {x}{2}$)=sin_$\frac {x}{2}$-sin$\frac {x}{2}$cos$\frac {x}{2}$=-$\frac {1}{2}$sinx-$\frac {1}{2}$cosx+$\frac {1}{2}$=-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$sin(x+$\frac {π}{4}$)+$\frac {1}{2}$
故它的最小正周期等于$\frac {2π}{1}$=2π
故答案为：2π
点评：
本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
定义一种运算：(a$_1$，a$_2$)⊗(a$_3$，a$_4$)=a$_1$a$_4$-a$_2$a$_3$，将函数f(x)=($\sqrt {3}$，2sinx)⊗(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为．
分析：
利用新定义直接求出f(x)的表达式，图象向左平移n(n＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，
解答：
解：因为(a$_1$，a$_2$)⊗(a$_3$，a$_4$)=a$_1$a$_4$-a$_2$a$_3$，
所以f(x)=($\sqrt {3}$，2sinx)⊗(cosx，cos2x)=$\sqrt {3}$cos2x-2sinxcosx=2cos(2x+$\frac {π}{6}$)，
它的图象向左平移n(n＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，函数为：f(x)=2cos(2x+2n+$\frac {π}{6}$)
所以 2n+$\frac {π}{6}$=π时，n最小，所以n的最小值为：$\frac {5π}{12}$
故答案为：$\frac {5π}{12}$
点评：
本题是基础题，考查新定义，三角函数式的化简，图象平移，三角函数的性质，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．
已知函数f(x)=sin2x+2cos_x-1，将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac {1}{2}$，纵坐标不变，再将所得图象向右平移$\frac {π}{4}$个单位，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)的解析式为（ ）
分析：
由已知中函数f(x)=sin2x+2cos_x-1，我们根据倍角公式及辅助角公式，易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，然后根据周期变换及平移变换法则，结合已知将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来$\frac {1}{2}$，纵坐标不变，再将所得图象向右平移$\frac {π}{4}$个单位，得到函数y=g(x)的图象，即可求出函数y=g(x)的解析式．
解答：
解：∵函数f(x)=sin2x+2cos_x-1，
∴f(x)=sin2x+cos2x=$\sqrt {2}$sin(2x+$\frac {π}{4}$)
将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来$\frac {1}{2}$，纵坐标不变，可以得到y=$\sqrt {2}$sin(4x+$\frac {π}{4}$)的图象
再将所得图象向右平移$\frac {π}{4}$个单位，得到函数y=$\sqrt {2}$sin[4(x-$\frac {π}{4}$)+$\frac {π}{4}$]=$\sqrt {2}$sin(4x-$\frac {3π}{4}$)
故函数y=g(x)的解析式为g(x)=$\sqrt {2}$sin(4x-$\frac {3π}{4}$)
故选D
点评：
本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握y=Asin(ωx+φ)的图象变换中振幅变换、平移变换及周期变换的法则及方法是解答本题的关键．
已知函数f(x)=2cos(x+$\frac {π}{3}$)[sin(x+$\frac {π}{3}$)-$\sqrt {3}$cos(x+$\frac {π}{3}$)]．方程m[f(x)+$\sqrt {3}$]+2=0在x∈[0，$\frac {π}{6}$]内有解，实数m的取值范围是( )
分析：
根据x的范围求出[f(x)+$\sqrt {3}$]的范围，然后由m[f(x)+$\sqrt {3}$]+2=0知，m≠0，f(x)+$\sqrt {3}$=-$\frac {2}{m}$，只需让$\sqrt {3}$≤-$\frac {2}{m}$≤2即可．
解答：
解：当x∈[0，$\frac {π}{6}$]时，2x+$\frac {π}{3}$∈[$\frac {π}{3}$，$\frac {2π}{3}$]，
故sin(2x+$\frac {π}{3}$)∈[$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，1]，
此时f(x)+$\sqrt {3}$=2sin(2x+$\frac {π}{3}$)∈[$\sqrt {3}$，2]．
由m[f(x)+$\sqrt {3}$]+2=0知，m≠0，∴f(x)+$\sqrt {3}$=-$\frac {2}{m}$，
即$\sqrt {3}$≤-$\frac {2}{m}$≤2，
即$\left\{\begin{matrix}$\frac {2}{m}$+$\sqrt {3}$≤0 \ $\frac {2}{m}$+2≥0 \ \end{matrix}\right.$，解得-$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$≤m≤-1．即实数m的取值范围是[-$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，-1]．
点评：
本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，在求解函数的值域时注意x的取值范围．把方程有解问题转化成求函数的值域问题解决．