《线性规划的实际问题》线性规划的实际问题

1单选题

某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（　　）

31200元

36000元

36800元

38400元

题目答案

答案解析

分析：

设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800．

解答：

解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则

z=1600x+2400y，

其中x、y满足不等式组$\left\{\begin{matrix}36x+60y≥900 \ x+y≤21 \ y-x≤7 \ \end{matrix}\right.$，(x、y∈N)

∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是$\frac {1600}{36}$≈44.4元，

同理可得B型车的人均租金是$\frac {2400}{60}$=40元，

由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低

因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低

由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求

且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值

故选：C

点评：

题给出实际应用问题，要求我们建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题．

2单选题

某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（　　）

甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数

解答：

解：设甲车间加工原料x箱，

乙车间加工原料y箱，

则$\left\{\begin{matrix}x+y≤70 \ 10x+6y≤480 \ x，y∈N \ \end{matrix}\right.$

目标函数z=280x+200y

结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．

故选B．

点评：

在解决线性规划问题时，我们常寻找边界点，代入验证确定最值

3单选题

某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（　　）

12万元

20万元

25万元

27万元

题目答案

答案解析

分析：

先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．

解答：

解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ y≥0 \ 3x+y≤13 \ 2x+3y≤18 \ \end{matrix}\right.$

联立$\left\{\begin{matrix}3x+y=13 \ 2x+3y=18 \ \end{matrix}\right.$解得$\left\{\begin{matrix}x=3 \ y=4 \ \end{matrix}\right.$

由图可知，最优解为P(3，4)，

∴z的最大值为z=5×3+3×4=27(万元)．

故选D．

点评：

在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到实际问题中．

4单选题

在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（　　）

2000元

2200元

2400元

2800元

题目答案

答案解析

分析：

根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值

解答：

解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，

得线性约束条件$\left\{\begin{matrix}20x+10y≥100 \ 0≤x≤4 \ 0≤y≤8 \ \end{matrix}\right.$

求线性目标函数z=400x+300y的最小值．

解得当$\left\{\begin{matrix}x=4 \ y=2 \ \end{matrix}\right.$时，z_min=2200．

故选B．

点评：

在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．

5填空题

某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元．

填空题答案仅供参考

题目答案

2300

答案解析

分析：

本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．

解答：

解：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，

则$\left\{\begin{matrix}5x+6y≥50 \ 10x+20y≥140 \ x∈N_ \ y∈N_ \ \end{matrix}\right.$

目标函数为z=200x+300y．

作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．

点评：

在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．

6单选题

某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的$\frac {2}{3}$倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）

36万元

31.2万元

30.4万元

24万元

题目答案

答案解析

分析：

这是一个简单的投资分析，因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项目乙投资的$\frac {2}{3}$倍)，尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的$\frac {2}{3}$倍可获最大利润．这是最优解法．

解答：

解：因为对乙项目投资获利较大，

故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项目乙投资的$\frac {2}{3}$倍)

尽可能多地安排资金投资于乙项目，

即对项目甲的投资等于对项目乙投资的$\frac {2}{3}$倍可获最大利润．这是最优解法．

即对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．

故选B．

点评：

用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各交点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

7单选题

某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a$_1$、b$_1$千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a$_2$、b$_2$千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为d$_1$、d$_2$元．月初一次性购进本月用原料A、B各c$_1$、c$_2$千克．要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d$_1$x+d$_2$y最大的数学模型中，约束条件为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由于月初一次性购进本月用原料A、B各c$_1$、c$_2$千克，据此生产的各种产品，所以它们的总量是不能超过的，最后，非负值约束条件表示各种产品的产量必须是正值，负值是没有意义的．

解答：

解：根据题意，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，

那么，用于求使总利润z=d$_1$x+d$_2$y最大的数学模型中，

约束条件为$\left\{\begin{matrix}a$_1$x+a$_2$y≤c$_1$ \ b$_1$x+b$_2$y≤c$_2$ \ x≥0 \ y≥0 \ \end{matrix}\right.$，

选C．

点评：

本题主要考查了简单的线性规划，考查了线性约束条件的确定，属于基础题．

8填空题

某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆应该采购公斤A种蔬菜和公斤B种蔬菜，才能获得最大利润元．

填空题答案仅供参考

题目答案

24452

答案解析

分析：

利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值．

解答：

设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y…(7分)

∵y=-2x+z∴z表示过可行域内点斜率为-2的一组平行线在y轴上的截距．

联立$\left\{\begin{matrix}2x+3y=60 \ y=4 \ \end{matrix}\right.$解得$\left\{\begin{matrix}x=24 \ y=4 \ \end{matrix}\right.$即B(24，4)…(9分)

∴当直线过点B(24，4)时，在y轴上的截距最大，

即z_max=2×24+4=52…(11分)

答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．…(12分)

点评：

本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．

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