《点面距离与线面距离》点面距离与线面距离

1单选题

在正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，顶点B$_1$到对角线BD$_1$和到平面A$_1$BCD$_1$的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（　　）

若侧棱的长小于底面的边长，则$\frac {h}{d}$的取值范围为(0，1)

若侧棱的长小于底面的边长，则$\frac {h}{d}$的取值范围为($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$)

若侧棱的长大于底面的边长，则$\frac {h}{d}$的取值范围为($\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，$\sqrt {2}$)

若侧棱的长大于底面的边长，则$\frac {h}{d}$的取值范围为($\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

设底面边长为1，侧棱长为λ，过B$_1$作B$_1$H⊥BD$_1$，B$_1$G⊥A$_1$B，Rt△BB$_1$D$_1$中可知B$_1$D$_1$和B$_1$D，进而利用三角形面积公式求得h，设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB$_1$，进而可推断BC⊥平面AA$_1$B$_1$B，BC⊥B$_1$G，B$_1$G⊥平面AB$_1$CD$_1$，可知B$_1$G为点到平面A$_1$BCD$_1$的距离，Rt△A$_1$B$_1$B中，又由三角形面积关系得d，进而可知$\frac {h}{d}$的表达式，根据λ来确定其范围．

解答：

解：设底面边长为1，侧棱长为λ(λ＞0)，

过B$_1$作B$_1$H⊥BD$_1$，B$_1$G⊥A$_1$B．

在Rt△BB$_1$D$_1$中，B$_1$D$_1$=$\sqrt {2}$，B$_1$D=$\sqrt {}$，

由三角形面积关系得：

h=B$_1$H=$\frac {B$_1$D$_1$•BB$_1$}{B$_1$D}$=$\frac {$\sqrt {2}$λ}{$\sqrt {}$}$

设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB$_1$，

所以BC⊥平面AA$_1$B$_1$B，于是BC⊥B$_1$G，

所以B$_1$G⊥平面AB$_1$CD$_1$，

故B$_1$G为点到平面A$_1$BCD$_1$的距离，

在Rt△A$_1$B$_1$B中，又由三角形面积关系得d=B$_1$G=$\frac {A$_1$B$_1$•BB$_1$}{A$_1$B}$=$\frac {λ}{$\sqrt {}$}$

于是$\frac {h}{d}$=$\frac {$\sqrt {2}$•$\sqrt {}$}{$\sqrt {}$}$=$\sqrt {2}$•$\sqrt {}$，

于是当λ＞1，所以λ_+2＞3，$\frac {2}{3}$＜1-$\frac {1}{λ_+2}$＜1，

所以$\frac {h}{d}$∈($\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，$\sqrt {2}$)；

故选C．

点评：

本题主要考查了点到平面的距离计算．点到平面的距离是近两年高考的一个热点问题，平时应注意强化训练．

2单选题

若正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的底面边长为1，AB$_1$与底面ABCD成60°角，则A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为（　　）

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\sqrt {2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．

解答：

解：依题意，BB$_1$的长度即A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离，

∠B$_1$AB=60°，BB$_1$=1×tan60°=$\sqrt {3}$，

故选D．

点评：

本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．

3单选题

在棱长为1的正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，E、F分别为棱AA$_1$、BB$_1$的中点，G为棱A$_1$B$_1$上的一点，且A$_1$G=λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D$_1$EF的距离为(　　)

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$λ}{3}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

因为A$_1$B$_1$∥EF，所以G到平面D$_1$EF的距离即是A$_1$到面D$_1$EF的距离，由三角形面积可得所求距离．

解答：

解：因为A$_1$B$_1$∥EF，G在A$_1$B$_1$上，所以G到平面D$_1$EF的距离即是A$_1$到面D$_1$EF的距离，

即是A$_1$到D$_1$E的距离，D$_1$E=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$，由三角形面积可得所求距离为$\frac {1×$\frac {1}{2}$}{$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$}$=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$，

故选D

点评：

本题主要考查空间线线关系、线面关系，点到面的距离等有关知识，特别是空间关系的转化能力．

4单选题

平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1；②2； ③3；④4；

以上结论正确的为( )

①③

②③

①②③

②③④

题目答案

答案解析

分析：

由已知中平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，根据平行四边形对角线上两顶点到平面α的距离的和相等，我们可以根据A到α距离为0，另外三个顶点中有两个顶点到α的距离分别为1和2，分类讨论，即可得到答案．

解答：

解：如图，B、D到平面α的距离为1、2，则D、B的中

点到平面α的距离为$\frac {3}{2}$，所以C到平面α的距离为3；

B、C到平面α的距离为1、2，D到平面α的距离为x，

则x+1=2或x+2=1，即x=1，所以D到平面α的距

离为1；

C、D到平面α的距离为1、2，同理可得B到平面α的距

离为1；所以选①③．

故答案为：A．

点评：

本题考查的知识点是空间中点、线、面之间的距离，其中根据平行四边形对角线上两顶点到平面α的距离的和相等，结合其它条件进行分类讨论，是解答本题的关键．

5单选题

多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：①3；②4； ③5；④6；⑤7．以上结论正确的为( )

③④⑤

①③④⑤

①③④

②③④

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，一一验证正方体的各个顶点到平面α的距离即可进行判断，为了求出各个顶点到平面α的距离，注意应用中点的纽带作用．

解答：

解：如图，B、D、A$_1$到平面α的距离分别为1、2、4，

则DA$_1$的中点到平面α的距离为3，即

AD$_1$的中点到平面α的距离为3

所以D$_1$到平面α的距离为6；同样地，

BA$_1$的中点到平面α的距离为$\frac {5}{2}$，

所以B$_1$到平面α的距离为5；

DB的中点到平面α的距离为$\frac {3}{2}$，

所以C到平面α的距离为3；

CA$_1$的中点到平面α的距离为$\frac {7}{2}$，

所以C$_1$到平面α的距离为7；

而P为C、C$_1$、B$_1$、D$_1$中的一点，

所以选B．

点评：

本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于创新题．

6填空题

水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意可知：球心的连线组成底面边长为2R侧棱长为3R的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，即可得小球的球心到水平桌面α的距离

解答：

解：水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．

故答案为：3R

点评：

本题考查点、线、面间的距离计算，球的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是基础题．

7单选题

若正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的底面边长为1，AB$_1$与底面ABCD成60°角，则A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为( )

$\sqrt {3}$

$\sqrt {2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

确定A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的高，即可求得结论．

解答：

解：∵正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$，

∴平面ABCD∥平面A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$，

∵A$_1$C$_1$⊂平面A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$，

∴A$_1$C$_1$∥平面ABCD

∴A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的高

∵正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的底面边长为1，AB$_1$与底面ABCD成60°角，

∴B$_1$B=$\sqrt {3}$

故答案为：A．

点评：

本题考查线面距离，确定A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的高是解题的关键．

8单选题

在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，取AB中点E，CD中点F，若沿EF将矩形AEFD折起，使得平面AEF⊥平面EFB，则AE中点Q到平面BFD的距离为( )

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

取BF中点O，连接EO，则可得AE中点Q到平面BFD的距离等于E到平面BFD的距离，即EO，由此可得结论．

解答：

解：取BF中点O，连接EO，则EO⊥BF

∵平面AEF⊥平面EFB，平面AEF∩平面EFB=EF，DF⊥EF

∴DF⊥平面EFB

∵EO⊂平面EFB

∴DF⊥EO

∵DF∩BF=F

∴EO⊥平面BFD

∵AE∥DF，AE⊄平面BFD，DF⊂平面BFD

∴AE∥平面BFD

∴AE中点Q到平面BFD的距离等于E到平面BFD的距离，即EO

由题意，EFCB是正方形，∴EO=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

即AE中点Q到平面BFD的距离等于$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

故答案为：A．

点评：

本题考查点到面的距离，考查面面垂直，线面平行，考查学生的计算能力，属于基础题．

9单选题

正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的底面边长为2，若AC$_1$与底面ABCD所成角为60°，则A$_1$C$_1$和底面ABCD的距离是( )

2$\sqrt {6}$

$\sqrt {11}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

确定A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的高，即可求得结论．

解答：

解：∵正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$，

∴平面ABCD∥平面A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$，

∵A$_1$C$_1$⊂平面A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$，

∴A$_1$C$_1$∥平面ABCD

∴A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的高

∵正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的底面边长为2，AC$_1$与底面ABCD成60°角，

∴A$_1$A=2$\sqrt {2}$tan60°=2$\sqrt {6}$

故答案为：A．

点评：

本题考查线面距离，确定A$_1$C$_1$到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的高是解题的关键．

10单选题

正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的棱长为1，O是A$_1$C$_1$的中点，则点O到平面ABC$_1$D$_1$的距离是（　　）

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

取C$_1$B$_1$的中点F，连结OF，BC$_1$，AD$_1$，B$_1$C交BC$_1$于E，B$_1$E⊥BC$_1$，作FG⊥BC$_1$，OF∥AB，所以O到平面ABC$_1$D$_1$的距离，就是F到平面ABC$_1$D$_1$的距离，也就是B$_1$到平面ABC$_1$D$_1$的距离的一半，由此能求出结果．

解答：

解：取C$_1$B$_1$的中点F，连结OF，BC$_1$，AD$_1$，连结B$_1$C，交BC$_1$于E，B$_1$E⊥BC$_1$，

作FG⊥BC$_1$，OF∥AB，所以O到平面ABC$_1$D$_1$的距离，就是F到平面ABC$_1$D$_1$的距离，也就是B$_1$到平面ABC$_1$D$_1$的距离的一半，

∵几何体是正方体，B$_1$E⊥AC$_1$，B$_1$E⊥AB，∴B$_1$E⊥平面ABC$_1$D$_1$，

∴EB$_1$就是B$_1$到平面ABC$_1$D$_1$的距离．B$_1$C=$\sqrt {2}$，∴FG=$\frac {1}{4}$B$_1$C=$\frac {1}{2}$B$_1$E=$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$．

点O到平面ABC$_1$D$_1$的距离是$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$．

故选：B．

点评：

本题考查点、线、面间的距离，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．

11单选题

空间四点O(0，0，0)，A(0，0，3)，B(0，3，0)，C(3，0，0)，O点到平面ABC的距离为( )

$\sqrt {3}$

$\sqrt {2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意，O，A，B，C可看作正方体中的四个顶点，正方体的棱长为3，利用等体积，可求O点到平面ABC的距离．

解答：

解：由题意，O，A，B，C可看作正方体中的四个顶点，正方体的棱长为3，则△ABC的面积为$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$•(3$\sqrt {2}$)_=$\frac {9$\sqrt {3}$}{2}$．

设O点到平面ABC的距离为d，则$\frac {1}{3}$•$\frac {1}{2}$•3•3•3=$\frac {1}{3}$•$\frac {9$\sqrt {3}$}{2}$•d，

解得d=$\sqrt {3}$．

故答案为：$\sqrt {3}$，所以选A．

点评：

将O，A，B，C可看作正方体中的四个顶点，利用等体积，是求O点到平面ABC的距离的关键．

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