《两点距离公式求函数最值》两点距离公式求函数最值 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《两点距离公式求函数最值》两点距离公式求函数最值

1单选题

已知A(-3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（　　）

A
(-1，0)
B
(1，0)
C
($\frac {22}{5}$，0)
D
(0，$\frac {22}{5}$)

题目答案

B

答案解析

分析：

利用对称知识得到点B(2，2)关于x轴的对称点为B′，连接AB′，根据B′和A的坐标求得直线AB′的方程，求出它与x轴交点坐标即为M的坐标．

解答：

解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，

与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短，

由B与B′关于x轴对称，B(2，2)，

所以B′(2，-2)，又A(-3，8)，

则直线AB′的方程为y+2=$\frac {8+2}{-3-2}$(x-2)

化简得：y=-2x+2，令y=0，解得x=1，所以M(1，0)

故选B

点评：

此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与x轴的交点坐标，是一道中档题．

纠错重做

2填空题

已知点A(2，5)与B(4，-7)，在y轴上有一点p使得PA+PB的值为最小，则点p的坐标为(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

01

答案解析

分析：

点A(2，5)关于y轴的对称点为A′(-2，5)，可得直线A′B的方程为：y+7=$\frac {-7-5}{4+2}$(x-4)，令x=0，解得y即可得出．

解答：

解：点A(2，5)关于y轴的对称点为A′(-2，5)，

直线A′B的方程为：y+7=$\frac {-7-5}{4+2}$(x-4)，化为y=-2x+1，令x=0，解得y=1．

∴取P(0，1)时使得PA+PB的值为最小，

故答案为：(0，1)

点评：

本题考查了轴对称、直线的点斜式，考查了计算能力，属于基础题．

纠错重做

3填空题

已知点A(1，5)，B(3，-1)，点M在x轴上，当AM-BM最大时，点M的坐标为(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {7}{2}$0

答案解析

分析：

作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，即M点的坐标．

解答：

解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM-BM=AM-B′M=AB′．

不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B′．

则M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′(三角形两边之差小于第三边)．

∴M′A-M′B＜AM-BM，即此时AM-BM最大．

∵B′是B(3，-1)关于x轴的对称点，∴B′(3，1)．

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A(1，5)和B′(3，1)代入得：

$\left\{\begin{matrix}k+b=5 \ 3k+b=1 \ \end{matrix}\right.$，解得$\left\{\begin{matrix}k=-2 \ b=7 \ \end{matrix}\right.$，

∴直线AB′解析式为y=-2x+7．

令y=0，解得x=$\frac {7}{2}$，

∴M点坐标为($\frac {7}{2}$，0)．

故答案为：($\frac {7}{2}$，0)．

点评：

本题考查了轴对称--最短路线问题、坐标与图形性质．解题时可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者(本题)是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．

纠错重做

4单选题

已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x轴上有一点P，使得|PA|+|PB|最小的值为（　　）

A
3$\sqrt {10}$
B
$\sqrt {34}$
C
2$\sqrt {10}$
D
9

题目答案

A

答案解析

分析：

作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于P点，此时|PA|+|PB|取得最小值，代入两点之间距离公式，可得答案．

解答：

解：作点A(-1，2)关于x轴的对称点A′(-1，-2)，

连接A′B，交x轴于P点，

此时|PA|+|PB|取得最小值，

且|PA|+|PB|=|A′B|，

又∵B(2，7)，

∴|A′B|=$\sqrt {}$=3$\sqrt {10}$，、

故选：A

点评：

本题考查的知识点是两点间距离公式，其中根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，将线段和的最值问题转化为平面上两点之间的距离，线段最短是解答的关键．

纠错重做