《常见几何体的表面积、体积综合》常见几何体的表面积、体积综合

1单选题

一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（　　）

4$\sqrt {5}$，8

4$\sqrt {5}$，$\frac {8}{3}$

4($\sqrt {5}$+1)，$\frac {8}{3}$

8，8

题目答案

答案解析

分析：

由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．

解答：

解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，

其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，

由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，

高PO=2，

则四棱锥的斜高PE=$\sqrt {}$=$\sqrt {5}$．

所以该四棱锥侧面积S=4×$\frac {1}{2}$×2×$\sqrt {5}$=4$\sqrt {5}$，

体积V=$\frac {1}{3}$×2×2×2=$\frac {8}{3}$．

故选B．

点评：

本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．

2填空题

已知正四棱锥O-ABCD的体积为$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$，底面边长为 $\sqrt {3}$，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

24π

答案解析

分析：

先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O-ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O-ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．

解答：

解：如图，正四棱锥O-ABCD的体积V=$\frac {1}{3}$sh=$\frac {1}{3}$($\sqrt {3}$×$\sqrt {3}$)×OH=$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$，

∴OH=$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$，

在直角三角形OAH中，OA=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\sqrt {6}$

所以表面积为4πr_=24π；

故答案为：24π．

点评：

本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题．

3单选题

若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为( )

$\frac {2$\sqrt {3}$π}{3}$

2$\sqrt {3}$π

$\frac {$\sqrt {3}$π}{3}$

$\frac {11π}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．

解答：

解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，

又$\frac {1}{2}$×2πl=2π，

∴圆锥的母线为2，则圆锥的高$\sqrt {3}$，

所以圆锥的体积$\frac {1}{3}$×$\sqrt {3}$×π=$\frac {$\sqrt {3}$π}{3}$．

故答案为$\frac {$\sqrt {3}$π}{3}$，选C．

点评：

本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．

4单选题

一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（　　）

$\frac {8$\sqrt {3}$π}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$π}{6}$

$\frac {$\sqrt {3}$π}{2}$

8$\sqrt {3}$π

题目答案

答案解析

分析：

因为正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，可以设出球半径r，求解再作比即可．

解答：

解：设球的半径为r⇒V$_1$=$\frac {4}{3}$πr_；正三棱锥的底面面积S=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$r_，h=2r，⇒V$_2$=$\frac {1}{3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$r_×2r=$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$r_．

所以$\frac {V$_1$}{V$_2$}$=$\frac {8$\sqrt {3}$π}{3}$

故选A．

点评：

本题考查学生对几何体结构的认识，几何体内部边长的关系，是基础题．

5单选题

如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则$\frac {R}{r}$=( )

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {2}{3}$

$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

先求半径为r的实心铁球的体积，等于升高的水的体积，可得结论．

解答：

解：半径为r的实心铁球的体积是：$\frac {4}{3}$πr_

升高的水的体积是：πR_r

所以：$\frac {4}{3}$πr_=πR_r

∴$\frac {R}{r}$=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$

故答案为：$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，选D．

点评：

本题考查球的体积，考查空间想象能力，是基础题．

6填空题

如右图所示，已知O为矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为旋转轴，旋转这个矩形所得的几何体体积为1，其中以OA为母线的圆锥体积为$\frac {1}{4}$，则以OB为母线的圆锥体积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{12}$

答案解析

分析：

设底面面积为S，高为h，表示出旋转矩形所得的几何体体积，以及以OA为母线的圆锥体积，从而求出OD与h的关系，最后求出以OB为母线的圆锥体积，得到所求．

解答：

解：设底面面积为S，高为h

则旋转这个矩形所得的几何体体积为Sh=1

以OA为母线的圆锥体积为$\frac {1}{3}$S×OD=$\frac {1}{4}$

OD=$\frac {3h}{4}$，则CO=$\frac {h}{4}$

∴以OB为母线的圆锥体积为$\frac {1}{3}$S×CO=$\frac {1}{3}$S×$\frac {h}{4}$=$\frac {1}{12}$

故答案为：$\frac {1}{12}$

点评：

本题主要考查了旋转体的体积，以及圆锥的体积的定理，属于基础题．

7单选题

球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且|AB|=$\sqrt {2}$，则此球的体积为（　　）

$\frac {3}{4}$π

$\frac {8$\sqrt {2}$}{3}$π

4$\sqrt {3}$π

8$\sqrt {6}$π

题目答案

答案解析

分析：

根据球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，可得OA，OB，OC两两垂直，利用|AB|=2，求出球的半径，从而可得球的体积

解答：

解：∵球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，

∴OA，OB，OC两两垂直

设球心为O，球的半径为R，则

∵|AB|=2

∴R=$\sqrt {2}$

∴此球的体积为$\frac {4}{3}$π×($\sqrt {2}$)_=$\frac {8$\sqrt {2}$}{3}$π

故选B．

点评：

本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．

8填空题

把一个半径为5$\sqrt {2}$cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为cm．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据金属球的体积等于圆锥体积即可求得圆锥底面圆的半径，从而得出这个圆锥的高．

解答：

解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，

由题意得S_底面面积=πr_，

S_扇形=3S_底面面积=3πr_，

l_扇形弧长=l_底面周长=2πr．

由S_扇形=$\frac {1}{2}$l_扇形弧长×R得3πr_=$\frac {1}{2}$×2πr×R，

故R=3r．即母线长为3r，∴这个圆锥的高为$\sqrt {}$=2$\sqrt {2}$r，

根据题意得，$\frac {1}{3}$×πr_×2$\sqrt {2}$r=$\frac {4}{3}$π×(5$\sqrt {2}$)_

∴r=5$\sqrt {2}$cm．

则这个圆锥的高为2$\sqrt {2}$r=20cm．

故答案为：20．

点评：

本题考查球的体积和表面积．通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．

9单选题

已知体积为$\sqrt {3}$的正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直底面)的三视图如图所示，则此三棱柱的高为(　　)

$\frac {1}{3}$

$\frac {2}{3}$

$\frac {4}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用三视图的数据，几何体的体积，直接求出几何体的高即可．

解答：

解：由三视图可知正三棱柱的底面边长为2，设正三棱柱的高为：h，

正三棱柱的体积为：$\frac {1}{2}$×2×$\sqrt {3}$•h=$\sqrt {3}$，

解得h=1．

故选C．

点评：

本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的应用，考查计算能力．

10单选题

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为( )

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {1}{4}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意，设底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，圆锥的半径为R，高为h．根据圆锥与球的体积公式，建立关于θ、R的等式，解出cotθ=2，结合同角三角函数的基本关系算出sinθ的值，可得答案．

解答：

解：设圆锥的半径为R，高为h，母线与轴所成角为θ，

则圆锥的高h=R•cotθ

圆锥的体积，V$_1$=$\frac {1}{3}$πR_h=$\frac {1}{3}$πR_cotθ

∵半球的体积V$_2$=$\frac {1}{2}$×$\frac {4}{3}$πR_=$\frac {2}{3}$πR_，且V$_1$=V$_2$

∴$\frac {1}{3}$πR_cotθ=$\frac {2}{3}$πR_，解得cotθ=$\frac {cosθ}{sinθ}$=2，

结合sin_θ+cos_θ=1，解得sinθ=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$．

故答案为：$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$，选B．

点评：

本题给出满足条件圆锥与半球，求圆锥的母线与轴所成角的正弦值，着重考查了圆锥与球的体积公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．

11填空题

正三棱锥S-ABC内接于球O，且球心O在平面ABC上，若正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则该三棱锥的体积是a_．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{12}$

答案解析

分析：

由题意求出底面面积及三棱锥S-ABC的高，然后求出三棱锥的体积．

解答：

解：三棱锥S-ABC中，PO⊥底面ABC，

底面ABC是边长为a的正三角形，所以底面面积为：$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$a _；

在三角形ABC中，O是其中心，故AO=$\frac {2}{3}$AD=$\frac {2}{3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$a

即三棱锥S-ABC的高SO=AO=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$a

三棱锥的体积为：$\frac {1}{3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$a _×$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$a=$\frac {1}{12}$a_

故答案为：$\frac {1}{12}$a_．

点评：

本题是基础题，考查球内接多面体、三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键．

12填空题

已知正三棱锥P-ABC中，底面边长为$\sqrt {3}$，高为1，则正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

4π

答案解析

分析：

由题意推出三角形的中心到四个顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答：

解：∵正三棱锥P-ABC中，底面边长为$\sqrt {3}$，高为1，

得到△ABC的中心O到四个顶点的距离相等，

∴正三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，外接球的半径为1，表面积为：4π．

故答案为：4π

点评：

本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力；正三角形的中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．

13填空题

若圆锥的底面积为9π，体积为12π，则该圆锥的侧面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

15π

答案解析

分析：

通过圆锥的体积公式直接求出圆锥的高，再通过圆锥的母线，圆锥的高求出圆锥的底面半径，求出底面周长，求出侧面积即可．

解答：

解：圆锥底面积为9π，…(1分)，

∴圆锥底面r=3，

设圆锥高为h，由体积V=$\frac {1}{3}$•9π•h，…(5分)

由V=12π得h=4； …(8分)

∴母线长l=$\sqrt {}$=5，…(9分)

设底面周长为c，则该圆锥的侧面积=$\frac {1}{2}$cl，…(12分)

所以该圆锥的侧面积=15π…(14分)．

故答案为：15π．

点评：

本题是基础题，考查圆锥的底面半径圆锥的高与圆锥的侧面积的求法，体积的应用，考查计算能力．

14填空题

若圆锥的侧面积为60π，底面周长为12π，则此圆锥的高为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

让周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积=$\frac {1}{2}$×侧面展开图的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．

解答：

解：∵圆锥的底面周长为12π，

∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6，

∵圆锥的侧面积=$\frac {1}{2}$×侧面展开图的弧长×母线长，

∴母线长=2×60π÷(12π)=10，

∴这个圆锥的高是$\sqrt {}$=8，

故答案为8．

点评：

考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的侧面积=$\frac {1}{2}$×侧面展开图的弧长×母线长．

15填空题

一个圆锥的侧面展开的面积是12πcm_，母线长4cm，则该圆锥的底面半径为cm．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

解答：

解：设底面半径为rcm，12π=πr×4，

解得r=3．

故答案为：3cm．

点评：

本题考查圆锥的计算，解题的关键熟练掌握是圆锥侧面积的计算公式．

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