《秦九韶算法》秦九韶算法

1单选题

用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x+79x+6x+5x+3x_在x=-4的值时，若v_0=3，v$_1$=-7，则v$_4$的值为（　　）

-57

124

-845

220

题目答案

答案解析

分析：

首先把一个n次多项式f(x)写成(…((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+…+a[1])x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V$_4$的值．

解答：

解：∵f(x)=12+35x-8x+79x+6x+5x+3x_

=(((((3x+5)x+6)x+79)x-8)x+35)x+12，

∴v_0=a$_6$=3，

v$_1$=v_0x+a$_5$=3×(-4)+5=-7，

v$_2$=v$_1$x+a$_4$=-7×(-4)+6=34，

v$_3$=v$_2$x+a$_3$=34×(-4)+79=-57，

v$_4$=v$_3$x+a$_2$=-57×(-4)+(-8)=220．

故选：D．

点评：

本题考查通过程序框图解决实际问题，把实际问题通过数学上的算法，写成程序，然后求解，属于基础题．

2填空题

用秦九韶算法求多项式f(x)=2x+5x-x+9x+1当x=3时的值的过程中，第三步v$_3$=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，代入所给的数据求出结果，注意运算中数据不要出错．

解答：

解：f(x)=2x+5x-x+9x+1=((((2x+0)x+5)x-1)x+9)x+1，

当x=3时，v_0=2，

v$_1$=6，

v$_2$=23，

v$_3$=68，

故答案为：68．

点评：

本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键，本题是一个比较简单的题目，运算量也不大，只要细心就能够做对．

3填空题

用秦九韶算法求多项式f(x)=7x+6x+5x+4x+3x+2x+x，当x=3时的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

21324

答案解析

分析：

把所给的函数式变化成都是一次式的形式，逐一求出从里到外的函数值的值，最后得到当x=3时的函数值．

解答：

解：f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x

V_0=7，

V$_1$=7×3+6=27，

V$_2$=27×3+5=86，

V$_3$=86×3+4=262，

V$_4$=262×3+6=789，

V$_5$=789×3+2=2369，

V$_6$=2369×3+1=7108，

V$_7$=7108×3+0=21324，

∴f(3)=21324

即当x=3时，函数值是21324．

故答案为：21324．

点评：

本题考查用秦九韶算法来解决当自变量取不同值时，对应的函数值，本题也可以用来求某一个一次式的值，本题是一个基础题．

4填空题

用秦九韶算法计算多项式f(x)=12+35x-8x+79x+6x+5x+3x_在x=-4时的值时，V$_3$的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

-57

答案解析

分析：

首先把一个n次多项式f(x)写成(…((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+…+a[1])x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值，求出V$_3$的值．

解答：

解：∵f(x)=12+35x-8x+79x+6x+5x+3x_=((3x+5)x+6)x+79)x-8)x+35)x+12，

∴v_0=a$_6$=3，

v$_1$=v_0x+a$_5$=3×(-4)+5=-7，

v$_2$=v$_1$x+a$_4$=-7×(-4)+6=34，

v$_3$=v$_2$x+a$_3$=34×(-4)+79=-57，

∴V$_3$的值为-57；

故答案为：-57．

点评：

本题考查排序问题与算法的多样性，通过数学上的算法，写成程序，然后求解，属于中档题．

5填空题

已知n次多项式P_n(x)=a_0x+a$_1$x+…+a_n-1x+a_n．如果在一种算法中，计算_0(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，计算P$_3$(x_0)的值至多需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P$_1$0(x_0)的值至多需要次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P_0(x)=a_0，P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0，1，2，…，n-1)．利用该算法，计算P$_3$(x_0)的值至多需要6次运算，计算P$_1$0(x_0)的值至多需要次运算．

填空题答案仅供参考

题目答案

6520

答案解析

分析：

根据常规运算的算法规则，和秦九韶算法的算法规则，我们不难得到结论．

解答：

解：在利用常规算法计算多项式P_n(x)=a_0x+a$_1$x+…+a_n-1x+a_n的值时，

算a_0x_项需要n乘法，则在计算时共需要乘法：n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=$\frac {n(n+1)}{2}$次

需要加法：n次，则计算P_n(x_0)的值共需要$\frac {1}{2}$n(n+3)次运算．

故计算P$_1$0(x_0)的值共需要65次运算．

在使用秦九韶算法计算多项式P_n(x)=a_0x+a$_1$x+…+a_n-1x+a_n的值时，

共需要乘法：n次

需要加法：n次，则计算P_n(x_0)的值共需要2n次运算．

故计算P$_1$0(x_0)的值至多需要20次运算．

故答案为：65；20

点评：

这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．

6填空题

任意正整数n都可以表示为n=a_0×_ +a$_1$×_ +…+a_k-1×_ +a_k×_ 的形式，其中a_0=1，当1≤i≤k时，a$_1$=0或a_i=1．现将等于0的a_f的总个数记为f(n)(例如：l=l×2_，4=l×2_+0×2_十0×2_，从而f(1)=0，f(4)=2．由此可以计算求得_ +_ +_ +…+_ =．

填空题答案仅供参考

题目答案

1093

答案解析

分析：

先列出如表所示，通过分析、猜想、归纳出其规律，进而可计算出其和．

解答：

解：列表如下：

由表格可得到如下规律：正整数k从2_到2_-1，则∑2_=3_．

因此：_ +_ +_ +…+_ =3_+3_+3_+3_+3_+3_+3_

=$\frac {1×(3_-1)}{3-1}$=1093．

故答案为1093．

点评：

通过列表找出其规律是解题的关键．

7单选题

设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和，比如f(123)=1_+2_+3_=14．记f$_1$(n)=f(n)，f_k+1(n)=f(f_k(n))，k=1，2，3，…，则f$_2$006(2006)=（　　）

145

题目答案

答案解析

分析：

由题意求出f(2006)的值，然后求出f(f(2006))的值，顺次进行，求出它的周期即可得到结果．

解答：

解：由题意f(2006)=2_+0_+0_+6_=40，f(f(2006))=f(40)=4_+0_=16，f(16)=1_+6_=37，f(37)=3_+7_=58，f(58)=5_+8_=89，f(89)=8_+9_=145，f(145)=1_+4_+5_=42，f(42)=20，f(20)=4，

f(4)=16，

f(16)=37，f(37)=58，f(58)=f(85)…11次一个循环，

f$_2$006(2006)=f(f(f(f(f(…f(2006)…))))))，共有2006次计算，所以表达式取得2006次计算后，经过182次循环，余下4次计算，计算f(89)=8_+9_=145，所以f$_2$006(2006)=145．

故选：D．

点评：

本题是中档题，考查函数值的计算，求出函数的值去掉计算后，得到函数的周期性计算是解题的关键．

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