《三角形的面积》三角形的面积

1单选题

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c_=(a-b)_+6，C=$\frac {π}{3}$，则△ABC的面积是（　　）

$\sqrt {3}$

$\frac {9$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {3$\sqrt {3}$}{2}$

3$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

将“c_=(a-b)_+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c_=a_+b_-2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．

解答：

解：由题意得，c_=a_+b_-2ab+6，

又由余弦定理可知，c_=a_+b_-2abcosC=a_+b_-ab，

∴-2ab+6=-ab，即ab=6．

∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$absinC=$\frac {3$\sqrt {3}$}{2}$．

故选：C．

点评：

本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．

2单选题

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则△ABC面积的最大值为( )

2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$

2$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

由条件利用正弦定理可得b_+c_-bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积 $\frac {1}{2}$bc•sinA 的值．

解答：

解：△ABC中，∵a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，

∴利用正弦定理可得(2+b)(a-b)=(c-b)c，即 b_+c_-bc=4．

再利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，

此时，△ABC为等边三角形，它的面积为 $\frac {1}{2}$bc•sinA=$\frac {1}{2}$×2×2×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$=$\sqrt {3}$，

故答案为：$\sqrt {3}$，选B．

点评：

本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．

3单选题

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=$\sqrt {3}$b．若a=6，b+c=8，则△ABC的面积是( )

$\frac {}{3}$

$\frac {$\sqrt {7}$}{3}$

0.5

题目答案

答案解析

分析：

先利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；再由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：

点评：

此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

4单选题

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=$\frac {π}{3}$．若sinC+sin(B-A)=2sin2A，则△ABC的面积是( )

$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

0.5

题目答案

答案解析

分析：

通过C=π-(A+B)及二倍角公式及sinC+sin(B-A)=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过$\frac {1}{2}$absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过$\frac {1}{2}$absinC求出三角形的面积．

解答：

解：∵sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sin2A=4sinAcosA，

∴sinBcosA=2sinAcosA

当cosA=0时，A=$\frac {π}{2}$，B=$\frac {π}{6}$，a=$\frac {4$\sqrt {3}$}{3}$，b=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，求得此时S=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，

联立方程组$\left\{\begin{matrix}a_+b_-ab=4 \ b=2a \ \end{matrix}\right.$解得a=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，b=$\frac {4$\sqrt {3}$}{3}$．

所以△ABC的面积S=$\frac {1}{2}$absinC=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$

综上知△ABC的面积S=$\frac {1}{2}$absinC=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，所以选A．

点评：

本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．

5填空题

已知△ABC的周长为$\sqrt {2}$+1，且sinA+sinB=$\sqrt {2}$sinC，则AB=；若△ABC的面积为$\frac {1}{6}$sinC，则角C=．°．

填空题答案仅供参考

题目答案

160

答案解析

解：(I)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC=$\sqrt {2}$+1．BC+AC=$\sqrt {2}$AB，两式相减，得：AB=1．(Ⅱ)由△ABC的面积=$\frac {1}{2}$BC•ACsinC=$\frac {1}{6}$sinC，得BC•AC=$\frac {1}{3}$，∴AC²+BC²=(AC+BC)²-2AC•BC=2-$\frac {2}{3}$=$\frac {4}{3}$，由余弦定理，得cosC=$\frac {AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC•BC}$=$\frac {1}{2}$，所以C=60°．

点评：

本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识．此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点．

6填空题

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a=2，C=$\frac {π}{4}$，cos$\frac {B}{2}$=$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，则△ABC的面积S为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {8}{7}$

答案解析

分析：

根据二倍角的余弦函数公式，由cos$\frac {B}{2}$的值求出cosB的值，根据其值大于0得到B为锐角，则根据同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据C的度数和三角形的内角和定理，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sinA，由a、sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值，根据三角形的面积公式即可求出S．

解答：

解：由题意得：cosB=2cos_$\frac {B}{2}$-1=2×($\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$)_-1=$\frac {3}{5}$＞0，所以B为锐角，

则sinB=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\frac {4}{5}$，

由C=$\frac {π}{4}$及A+B+C=π，得sinA=sin(π-B-C)=sin($\frac {3π}{4}$-B)=sin$\frac {3π}{4}$cosB-cos$\frac {3π}{4}$sinB=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$×$\frac {3}{5}$+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$×$\frac {4}{5}$=$\frac {7$\sqrt {2}$}{10}$，

由正弦定理得$\frac {a}{sinA}$=$\frac {c}{sinC}$即$\frac {2}{$\frac {7$\sqrt {2}$}{10}$}$=$\frac {c}{$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$}$，解得c=$\frac {10}{7}$，

∴S=$\frac {1}{2}$ac•sinB=$\frac {1}{2}$×2×$\frac {10}{7}$×$\frac {4}{5}$=$\frac {8}{7}$．

点评：

此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式、同角三角函数间的基本关系、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．做题时学生应注意根据三角函数值的正负判断角的范围．

7填空题

在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {7}{25}$

答案解析

分析：

先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．

解答：

解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，

∴$\frac {1}{2}$•BC•ACsinC=5

∴sinC=$\frac {3}{5}$

∴cos2C=1-2sin_C=1-2×$\frac {9}{25}$=$\frac {7}{25}$

故答案为：$\frac {7}{25}$

点评：

本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用．属基础题．

8单选题

在△ABC中，a=1，B=45°，S_△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（　　）

$\frac {5$\sqrt {2}$}{2}$

5$\sqrt {2}$

6$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．

解答：

解：∵在△ABC中，a=1，B=45°，S_△ABC=2，

∴$\frac {1}{2}$acsinB=2，即c=4$\sqrt {2}$，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=1+32-8=25，即b=5，

则由正弦定理得：d=$\frac {b}{sinB}$=5$\sqrt {2}$．

故选：C．

点评：

此题考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

9单选题

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．若a+c=$\frac {3$\sqrt {3}$}{2}$，b=$\sqrt {3}$，则△ABC的面积是( )

$\frac {5$\sqrt {3}$}{16}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

2.3

题目答案

答案解析

分析：

由2cosAcosC+1=2sinAsinC 化简求得cos(A+C)=-$\frac {1}{2}$，求得cosB=$\frac {1}{2}$，可得B的值．再由余弦定理cosB=$\frac {a_+c_-b}{2ac}$=$\frac {1}{2}$，可得$\frac {(a+c)_-2ac-b}{2ac}$=$\frac {1}{2}$，把a+c=$\frac {3$\sqrt {3}$}{2}$、b=$\sqrt {3}$ 代入求得ac的值，再根据S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB计算求得结果．

解答：

解：由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2(cosAcosC-sinAsinC)=-1，

∴cos(A+C)=-$\frac {1}{2}$，∴cosB=$\frac {1}{2}$，又0＜B＜π，∴B=$\frac {π}{3}$．

由余弦定理得：cosB=$\frac {a_+c_-b}{2ac}$=$\frac {1}{2}$，∴$\frac {(a+c)_-2ac-b}{2ac}$=$\frac {1}{2}$，

又a+c=$\frac {3$\sqrt {3}$}{2}$，b=$\sqrt {3}$，∴$\frac {27}{4}$-2ac-3=ac，故ac=$\frac {5}{4}$，

∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB=$\frac {1}{2}$×$\frac {5}{4}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$=$\frac {5$\sqrt {3}$}{16}$，所以选A．

点评：

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

10单选题

△ABC中，若a=1，c=2，B=30°，则△ABC的面积为（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用正弦定理知，S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB，从而可得答案．

解答：

解：△ABC中，∵a=1，c=2，B=30°，

∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB=$\frac {1}{2}$×1×2×$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{2}$．

故选：A．

点评：

本题考查正弦定理及三角形的面积公式，属于基础题．

11单选题

△ABC中，角A，B，C所对边a，b，c，若a=3，C=120°，△ABC的面积S=$\frac {15$\sqrt {3}$}{4}$，则c=（　　）

$\sqrt {39}$

题目答案

答案解析

分析：

利用三角形的面积公式S_△=$\frac {1}{2}$absinC及a=3，C=120°，可得b，再利用余弦定理即可得出c．

解答：

解：∵△ABC的面积S=$\frac {15$\sqrt {3}$}{4}$=$\frac {1}{2}$absin120_，∴ab=15，又a=3，∴b=5．

∴c_=a_+b_-2abcosC=3_+5_-2×3×5cos120°=49，

∴c=7．

故选D．

点评：

熟练掌握三角形的面积公式和余弦定理是解题的关键．

12单选题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=$\sqrt {3}$acosC．若c=$\sqrt {7}$，且sinC+sin(B-A)=3sin2A，则△ABC的面积是( )

$\frac {3\sqrt {2}}{8}$

0.5或1.2

$\frac {7\sqrt {3}}{6}$或$\frac {3\sqrt {3}}{4}$

2或3

题目答案

答案解析

分析：

利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=$\sqrt {3}$cosC，结合C是三角形的内角，得出C=60°；再利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=3sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积．

解答：

解：∵csinA=$\sqrt {3}$acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=$\sqrt {3}$sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=$\sqrt {3}$cosC，得tanC=$\sqrt {3}$∵C是三角形的内角，∴C=60°；∵sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin(B-A)=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=$\frac {π}{2}$，可得b=$\frac {c}{tanC}$=$\frac {\sqrt {21}}{3}$，可得三角△ABC的面积S=$\frac {1}{2}$bc=$\frac {7\sqrt {3}}{6}$当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=$\sqrt {7}$，∠C=60°，c²=a²+b²-2abcosC∴a²+b²-ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=$\frac {1}{2}$absinC=$\frac {1}{2}$×1×3×sin60°=$\frac {\sqrt {3}}{4}$．综上所述，△ABC的面积等于$\frac {7\sqrt {3}}{6}$或$\frac {3\sqrt {3}}{4}$，所以选C．

点评：

本题着重考查了三角恒等变换、利用正弦定理和余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．

13单选题

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a_=b_+c_+bc．若sinB+sinC=1，b=2，△ABC的面积为( )

2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$

2$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

利用条件结合余弦定理，可求A的大小；利用和差的三角函数求出b=c=2，再利用三角形的面积公式可得结论．

解答：

解：∵a_=b_+c_+bc，由余弦定理得a_=b_+c_-2bccosA

∴cosA=-$\frac {1}{2}$，∵A∈(0，π)，∴A=$\frac {2π}{3}$-----------------(4分)

∵sinB+sinC=1，

∴sinB+sin($\frac {π}{3}$-B)=1，-----------------(6分)

∴sinB+sin$\frac {π}{3}$cosB-cos$\frac {π}{3}$sinB=1，

∴sin$\frac {π}{3}$cosB+cos$\frac {π}{3}$sinB=1，

∴sin(B+$\frac {π}{3}$)=1----------------(8分)

又∵B为三角形内角，故B=C=30°．

所以b=c=2-----------------(10分)

所以S_△ABC=$\frac {1}{2}$bcsinA=$\sqrt {3}$，所以选B．-----------------(12分)

点评：

本题考查余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．

14单选题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，B=45°，S_△ABC=2，则△ABC的外接圆半径为（　　）

2$\sqrt {2}$

3$\sqrt {2}$

$\frac {3}{2}$$\sqrt {2}$

$\frac {5}{2}$$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

由三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，再由正弦定理即可求得半径．

解答：

解：∵a=1，B=45°，S_△ABC=2，

∴$\frac {1}{2}$acsinB=$\frac {1}{2}$csin45°=2，解得c=4$\sqrt {2}$，

由余弦定理，得b_=a_+c_-2accosB=1+32-2×1×4$\sqrt {2}$cos45°=25，

∴b=5，

设外接圆半径为R，

由正弦定理，得$\frac {b}{sinB}$=2R，即$\frac {5}{sin45°}$=2R，

解得R=$\frac {5$\sqrt {2}$}{2}$，

故选D．

点评：

该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，属基础题，准确记忆公式并能灵活运用是解题关键．

15填空题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$c，则ab的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=-$\frac {1}{2}$，C=$\frac {2π}{3}$．根据△ABC的面积为S=$\frac {1}{2}$ab•sinC=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$c，求得c=$\frac {1}{2}$ab．再由余弦定理化简可得$\frac {1}{4}$a_b_=a_+b_+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．

解答：

解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB，

即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=-$\frac {1}{2}$，C=$\frac {2π}{3}$．

由于△ABC的面积为S=$\frac {1}{2}$ab•sinC=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$ab=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$c，∴c=$\frac {1}{2}$ab．

再由余弦定理可得c_=a_+b_-2ab•cosC，整理可得$\frac {1}{4}$a_b_=a_+b_+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，

故答案为：12．

点评：

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．

16填空题

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=$\sqrt {3}$acosB．则角B=，若b=2，△ABC的面积为$\sqrt {3}$，则a=，c=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {π}{3}$22

答案解析

分析：

(1)依题意，利用正弦定理，将bsinA=$\sqrt {3}$acosB转化为sinBsinA=$\sqrt {3}$sinAcosB，即可求得角B的大小；

(2)由(1)知B=$\frac {π}{3}$，由S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB=$\sqrt {3}$，可求得ac=4，再利用余弦定理可求得a+c=4，从而可求得a，c．

解答：

解：(1)△ABC中，bsinA=$\sqrt {3}$acosB，

由正弦定理得sinBsinA=$\sqrt {3}$sinAcosB，

∵0＜A＜π，

∴sinA＞0，

∴sinB=$\sqrt {3}$cosB，

∴tanB=$\sqrt {3}$，

∵0＜B＜π，

∴B=$\frac {π}{3}$．

(2)∵S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$ac=$\sqrt {3}$，

∴ac=4，

而b_=a_+c_-2accosB=(a+c)_-3ac，

∴(a+c)_=16，

∵a+c＞0，

∴a+c=4，

解得a=c=2，

∴a=c=2．

点评：

本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，求得B=$\frac {π}{3}$是关键，考查方程思想与运算能力，属于中档题．

17单选题

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，A=$\frac {π}{3}$，a=$\sqrt {3}$，b+c=3，则△ABC的面积S=（　　）

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用余弦定理得到a_=b_+c_-2bccosA，再根据完全平方公式整理后，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，最后由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：

解：∵A=$\frac {π}{3}$，a=$\sqrt {3}$，b+c=3，

∴由余弦定理a_=b_+c_-2bccosA得：

3=b_+c_-bc=(b+c)_-3bc=9-3bc，

可得：bc=2，

则△ABC的面积S=$\frac {1}{2}$bcsinA=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$．

故选B

点评：

此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

18单选题

在△ABC中，角B所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为( )．

6+6$\sqrt {6}$

5+6$\sqrt {5}$

6+6$\sqrt {5}$

5+6$\sqrt {6}$

题目答案

答案解析

分析：

根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，根据三角形的面积公式得到a与c的关系式，根据大边对大角判断B是锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，也得到关于a与c的关系式，利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形ABC的周长．

解答：

解：由正弦定理得，

$\frac {b}{sinB}$=2R，

∴sinB=$\frac {b}{2R}$=$\frac {3}{5}$．

又∵△ABC的面积为15，

∴S=$\frac {1}{2}$acsinB=15．

∴ac=50＞b_．

∴a，c有一个比b大，

即∠B是锐角，

∴cosB=$\frac {4}{5}$，

由余弦定理得，

cosB=$\frac {a_+c_-b}{2ac}$=$\frac {4}{5}$，

∴a_+c_=116，

∴(a+c)_=216，

∴a+c=6$\sqrt {6}$，

∴△ABC的周长为a+b+c=6+6$\sqrt {6}$．

故答案为：6+6$\sqrt {6}$，选A．

点评：

本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式和大边对大角的应用，属于难题．

19单选题

在△ABC中，a=2，b=$\sqrt {3}$，C=60°，则S_△ABC=（　　）

2$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\sqrt {3}$

$\frac {3}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

利用三角形的面积公式S_△ABC=$\frac {1}{2}$absinC，即可求得结论．

解答：

解：∵a=2，b=$\sqrt {3}$，C=60°，

∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$absinC=$\frac {1}{2}$×2×$\sqrt {3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$=$\frac {3}{2}$

故选D．

点评：

本题考查三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

20单选题

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且$\frac {cosB}{cosC}$=-$\frac {b}{2a+c}$．若b=$\sqrt {13}$，则△ABC的面积最大值是( )

$\frac {13$\sqrt {3}$}{12}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{5}$

$\frac {2}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用正弦定理化简已知等式右边，整理后利用诱导公式化简，由sinA不为0求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的大小；再利用余弦定理列出关系式，把b与cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，把sinA与ac最大值代入即可求出面积的最大值．

解答：

解：由正弦定理$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$=$\frac {c}{sinC}$=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

将上式代入已知$\frac {cosB}{cosC}$=-$\frac {b}{2a+c}$得：$\frac {cosB}{cosC}$=-$\frac {sinB}{2sinA+sinC}$，

整理得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，

即2sinAcosB+sin(B+C)=0，

∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，

∴2sinAcosB+sinA=0，

∵sinA≠0，∴cosB=-$\frac {1}{2}$，

∵B为三角形的内角，

∴B=$\frac {2π}{3}$；

再由余弦定理b_=a_+c_-2accosB得：13=a_+c_+ac≥2ac+ac，

整理得：ac≤$\frac {13}{3}$，

∴S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB≤$\frac {1}{2}$×$\frac {13}{3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$=$\frac {13$\sqrt {3}$}{12}$，

则当a=c=$\frac {$\sqrt {39}$}{3}$时，△ABC的面积最大值为$\frac {13$\sqrt {3}$}{12}$，所以选A．

点评：

此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的运用，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

21单选题

在△ABC中，内角A、B、C对边分别是已知c+b=2+$\sqrt {3}$，C=$\frac {π}{3}$，sinC+sin(B-A)=2sin2A，则△ABC的面积为( )．

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {3+2$\sqrt {3}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {3+2$\sqrt {3}$}{4}$或$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据三角形的内角和定理及诱导公式化简sinC+sin(B-A)=2sin2A，分cosA等于0和不等于0两种情况考虑，当cosA等于0时，得到A和B的度数，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到a=2b，c=$\sqrt {3}$b，又c+b=2+$\sqrt {3}$，即可求出b和c的值，根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；当cosA不等于0时，得到sinB=2sinA，根据正弦定理得到b与a的关系式，记作①，再根据余弦定理表示出cos$\frac {π}{3}$的关系式，记作②，将①代入②即可求出a与b的值，进而得到c的值，根据勾股定理的逆定理判断得到△ABC是直角三角形，根据两直角边乘积的一半即可求出△ABC的面积，综上，得到△ABC的面积的两个值．

解答：

解：由题意得：sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，

当cosA=0时，则A=$\frac {π}{2}$，B=$\frac {π}{6}$，则a=2b，c=$\sqrt {3}$b，又c+b=2+$\sqrt {3}$，

所以b=$\frac {$\sqrt {3}$+1}{2}$，c=$\frac {3+$\sqrt {3}$}{2}$，所以S_△ABC=$\frac {1}{2}$bcsinA=$\frac {3+2$\sqrt {3}$}{4}$；

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，①

又由余弦定理得：cos$\frac {π}{3}$=$\frac {a_+b_-(2+$\sqrt {3}$-b)}{2ab}$=$\frac {1}{2}$，②

将①代入②，解得a=1或a=7+4$\sqrt {3}$＞b+c=2+$\sqrt {3}$(舍去)，b=2，

此时c=$\sqrt {3}$，所以△ABC是直角三角形，所以S_△ABC=$\frac {1}{2}$ac=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

综上，△ABC的面积为$\frac {3+2$\sqrt {3}$}{4}$或$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$．

点评：

此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦公式及三角形的面积公式化简求值，灵活运用正弦定理、余弦定理化简求值，是一道中档题．

22单选题

在△ABC中，锐角∠B所对的边b=10．△ABC的面积S_△ABC=10，外接圆半径R=13，则△ABC的周长C_△ABC为( )

7+8$\sqrt {5}$

9+5$\sqrt {2}$

10+10$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

由正弦定理列出关系式，把b，R代入求出sinB的值，根据B为锐角求出cosB的值，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，求出a_+c_的值，根据完全平方公式求出a+c的值，即可确定出三角形周长．

解答：

解：由正弦定理$\frac {b}{sinB}$=2R，得sinB=$\frac {b}{2R}$=$\frac {5}{13}$，

∵B为锐角，∴cosB=$\frac {12}{13}$，

∵S_△ABC=$\frac {1}{2}$acsinB=10，

∴ac=52，

由余弦定理得：b_=a_+c_-2accosB，即100=a_+c_-96，

整理得：a_+c_=196，

∴(a+c)_=a_+c_+2ac=196+104=300，即a+c=10$\sqrt {3}$，

则△ABC的周长C_△ABC=a+c+b=10$\sqrt {3}$+10．

故答案为：10$\sqrt {3}$+10，所以选D．

点评：

此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．

23填空题

在△ABC中，|$\xrightarrow[""]{AB}$|=6，|$\xrightarrow[""]{AC}$|=2|$\xrightarrow[""]{BC}$|，则△ABC的面积的最大值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

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分析：

建立坐标系，求出C的轨迹方程，即可求得三角形面积的最大值．

解答：

解：建立如图所示的坐标系，则A(-3，0)，B(3，0)

设C(x，y)，

∵|$\xrightarrow[""]{AC}$|=2|$\xrightarrow[""]{BC}$|，∴$\frac {$\sqrt {}$}{$\sqrt {}$}$=2，

化简可得(x-5)_+y_=16，

即C的轨迹是一(5，0)为圆心，4为半径的圆，

∴三角形ABC的面积的最大值为$\frac {1}{2}$×6×4=12．

故答案为：12．

点评：

本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，属于中档题．

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《三角形的面积》三角形的面积

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