《几何体之间的体积比》几何体之间的体积比 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《几何体之间的体积比》几何体之间的体积比

1填空题

如图，在三棱柱A$_1$B$_1$C$_1$-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA$_1$的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V$_1$，三棱柱A$_1$B$_1$C$_1$-ABC的体积为V$_2$，则V$_1$：V$_2$=：．

填空题答案仅供参考

题目答案

124

答案解析

分析：

由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．

解答：

解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S_△ADE：S_△ABC=1：4，

又F是AA$_1$的中点，所以A$_1$到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．

即三棱柱A$_1$B$_1$C$_1$-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍．

所以V$_1$：V$_2$=$\frac {$\frac {1}{3}$S_△ADE•h}{S_△ABC•H}$=$\frac {1}{24}$=1：24．

故答案为1：24．

点评：

本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题．

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2单选题

正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为(　　)

A
1：1
B
1：2
C
2：1
D
3：2

题目答案

C

答案解析

分析：

由于G是PB的中点，故P-GAC的体积等于B-GAC的体积；求出DH=2BH，即可求出三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比．

解答：

解：由于G是PB的中点，故P-GAC的体积等于B-GAC的体积

在底面正六边形ABCDER中

BH=ABtan30°=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$AB

而BD=$\sqrt {3}$AB

故DH=2BH

于是V_D-GAC=2V_B-GAC=2V_P-GAC

故选C．

点评：

本题考查棱锥的体积计算，考查转化思想，是基础题．

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3填空题

若三棱柱ABC-A'B'C'的体积是12，则四棱锥C'-A'B'BA的体积是．

填空题答案仅供参考

题目答案

8

答案解析

分析：

因为棱锥C'-ABC与棱柱同底同高，由Sh=12，知棱锥C'-ABC的体积V=$\frac {1}{3}$Sh=4，由此能求出四棱锥C'-A'B'BA的体积．

解答：

解：因为棱锥C'-ABC与棱柱同底同高，∵Sh=12，∴棱锥C'-ABC的体积V=$\frac {1}{3}$Sh=4．故四棱锥C'-A'B'BA的体积=12-4=8．故答案为：8．

点评：

本题考查棱柱、棱锥的体积的运算，解题时要认真审题，仔细解答．

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4填空题

如图，在直四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，点E，F分别在AA$_1$，CC$_1$上，且AE=$\frac {3}{4}$AA$_1$，CF=$\frac {1}{3}$CC$_1$，点A，C到BD的距离之比为3：2，则三棱锥E-BCD和F-ABD的体积比$\frac {V_E-BCD}{V_F-ABD}$=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {3}{2}$

答案解析

分析：

根据A、C到BD的距离之比算出S_△BCD：S_△ABD．由直四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ 中，AE=$\frac {3}{4}$AA$_1$且CF=$\frac {1}{3}$CC$_1$，算出AE：CF的比值，再由锥体的体积公式加以计算即可得到$\frac {V_E-BCD}{V_F-ABD}$的值

解答：

解：∵点A、C到BD的距离之比为3：2，

∴△BCD和△ABD的面积之比为3：2，可得S_△BCD=$\frac {2}{3}$S_△ABD

∵AE=$\frac {3}{4}$AA$_1$，CF=$\frac {1}{3}$CC$_1$，∴$\frac {AE}{CF}$=$\frac {$\frac {3}{4}$}{$\frac {1}{3}$}$=$\frac {9}{4}$

∵三棱锥E-BCD的体积V$_1$=$\frac {1}{3}$S_△BCD•AE，

三棱锥F-ABD的体积V$_2$=$\frac {1}{3}$S_△ABD•CF．

∴$\frac {V_E-BCD}{V_F-ABD}$=$\frac {V$_1$}{V$_2$}$=$\frac {$\frac {1}{3}$S_△BCD•AE}{$\frac {1}{3}$S_△ACD•CF}$=$\frac {S_△BCD•AE}{S_△ACD•CF}$•$\frac {AE}{CF}$=$\frac {2}{3}$•$\frac {9}{4}$=$\frac {3}{2}$．

故答案为：$\frac {3}{2}$

点评：

本题给出直棱柱上满足条件的点，求两个三棱锥的体积之比．着重考查了直棱柱的性质、三角形的面积比和锥体的体积公式等知识，属于中档题．

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5单选题

一个圆柱底面直径与高相等，其体积与一个球的体积之比是3：2，则这个圆柱的表面积与这个球的表面积之比为（　　）

A
1：1
B
1：$\sqrt {2}$
C
$\sqrt {2}$：$\sqrt {3}$
D
3：2

题目答案

D

答案解析

分析：

根据圆柱体积与球的体积之比是3：2，确定其半径之比，进而可得圆柱的表面积与球的表面积之比．

解答：

解：设圆柱底面直径为2R$_1$，球的半径为R$_2$，则圆柱的体积为2πR$_1$_，球的体积为$\frac {4}{3}$πR$_2$_

∵圆柱体积与球的体积之比是3：2

∴2πR$_1$_：$\frac {4}{3}$πR$_2$_=3：2

∴R$_1$：R$_2$=1：1

∵圆柱的表面积为2πR$_1$_+ 4πR$_1$_=6πR$_1$_，球的表面积4πR$_2$_

∴圆柱的表面积与球的表面积之比为6πR$_1$_：4πR$_2$_=3：2

故选D．

点评：

本题考查圆柱与球的体积与表面积的计算，正确运用公式是关键，属于基础题．

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6单选题

过三棱锥高的中点与底面平行的平面把这个三棱锥分为两部分，则这上、下两部分体积之比为（　　）

A
1：7
B
1：4
C
2：3
D
1：8

题目答案

A

答案解析

分析：

根据棱锥的体积比等于对应高的立方比可知，小棱锥和大棱锥的体积之比为1：8，即可得出结论．

解答：

解：根据棱锥的体积比等于对应高的立方比可知，小棱锥和大棱锥的体积之比为1：8，

∴棱锥分成上下两部分的体积之比为1：7，

故选：A．

点评：

本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，比较基础．

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7单选题

一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（　　）

A
3：2
B
3：1
C
2：3
D
4：3

题目答案

A

答案解析

分析：

根据题意，设圆柱的底面半径为r，利用圆柱侧面积公式与球的表面积公式建立关系式，算出球的半径R=r，再利用圆柱与球的体积公式加以计算，可得所求体积之比．

解答：

解：设圆柱的底面半径为r，轴截面正方形边长a，则a=2r．

可得圆柱的侧面积S$_1$=2πra=4πr_．

再设与圆柱表面积相等的球半径为R，

则球的表面积S$_2$=4πR_=4πr_，解得R=r，

因此圆柱的体积为V$_1$=πr_×a=2πr_，球的体积为V$_2$=$\frac {4}{3}$πR_=$\frac {4}{3}$πr_

因此圆柱的体积与球的体积之比为$\frac {V$_1$}{V$_2$}$=$\frac {3}{2}$．

故选：A

点评：

本题给出正圆柱的表面积与一个球的表面积相等，求它们的体积比．着重考查了圆柱侧面积公式、球的表面积公式、旋转体的体积计算等知识，属于基础题．

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8填空题

一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个圆柱的体积与球的体积之比为:．

填空题答案仅供参考

题目答案

32

答案解析

分析：

所成球的半径，求出圆柱的体积，球的体积，即可得到体积比．

解答：

解：设球的半径为：1，所以球的体积为：$\frac {4π}{3}$，圆柱的体积为：2π，

所以圆柱的体积与球的体积之比为：$\frac {2π}{$\frac {4π}{3}$}$=$\frac {3}{2}$

故答案为：3：2

点评：

本题是基础题，考查圆柱的体积与球的体积的比，考查计算能力，送分题．

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9填空题

已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比V_圆柱：V_球=(用分数作答)．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {3}{4}$

答案解析

分析：

由已知中圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，我们易求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的体积后，即可得到V_圆柱：V_球的值．

解答：

解：∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h

则球的表面积S_球=4πR_

又∵圆柱M与球O的表面积相等

即4πR_=2πR_+2πR•h

解得h=R

则V_圆柱=πR_，V_球=$\frac {4}{3}$πR_

∴V_圆柱：V_球=$\frac {3}{4}$

故答案为：$\frac {3}{4}$

点评：

本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．

纠错重做

10填空题

如图，在直四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，点E，F分别在AA$_1$，CC$_1$上，且AE=$\frac {4}{5}$AA$_1$，CF=$\frac {1}{3}$CC$_1$，点A，C到BD的距离之比为2：3，则三棱锥E-BCD和F-ABD的体积比$\frac {$V_E$-BCD}{$V_F$-ABD}$=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {18}{5}$

答案解析

分析：

利用距离比求出三角形的面积比，然后求解几何体的体积比．

解答：

解：因为点A，C到BD的距离之比为2：3，所以$\frac {S_△ABD}{S_△CBD}$=$\frac {2}{3}$，

设AA$_1$=a，则三棱锥E-BCD的高为$\frac {4a}{5}$，三棱锥F-ABD的高为$\frac {1}{3}$a，

故$\frac {V_E-BCD}{V_F-ABD}$=$\frac {3×$\frac {4a}{5}$}{2×$\frac {1}{3}$a}$=$\frac {18}{5}$．

故答案为：$\frac {18}{5}$．

点评：

本题考查空间几何体的体积比的计算，考查空间想象能力以及计算能力．

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